평균값 정리 (편집)

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Mean Value Theorem (MVT)

미적분학의 기본정리와 더불어 미적분학의 뼈대를 떠받치고 있는 매우 중요한 정리이다. 이 정리의 기본적인 아이디어는 실수값 함수에서의 미분 꼴에서 출발하지만 수많은 일반화와 확장 형식들[* 코시의 평균값의 정리, 부정형 [math(\frac{0}{0})]에 대한 로피탈의 정리]이 존재한다. 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy)이다.

== 진술 ==
함수 <math>f(x)</math> 가 폐구간 <math>[a, b]</math>에서 연속이고 개구간 <math>(a, b)</math>에서 미분 가능하면
><math> f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \,  (a<c<b) </math> 
를 만족시키는 <math>c</math> 가 적어도 하나 존재한다.

== 증명 ==
<math> \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = k \, </math> 라 하면 <math>\overleftrightarrow { AB }:  g(x) = k(x-a)+f(a) </math> 이다.

<math> h(x) = f(x) - {k(x-a) + f(a)} </math>라 하면 <math> h(x) </math>는 폐구간 <math>[a, b]</math>에서 연속이고 개구간 <math>(a, b)</math>에서 미분가능하며 <math> h(a) = h(b) = 0 </math> 이다.

따라서 [[롤의 정리]]에 의하여 <math> h'(c) = 0 </math> 인 <math> c </math> 가 $a$와 $b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

미분하면 <math> h'(x) = f'(x)-k </math> 가 성립하므로 <math> h'(c) = 0 </math> 에서 <math> h'(c) = f'(c)-k = 0 </math>

>∴<math> f'(c) = k </math>

따라서 <math> f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \,  (a<c<b) </math> 를 만족시키는 <math>c</math> 가 적어도 하나 존재한다.

== 일반화 ==
=== 진술 ===
함수 <math> f(x) </math>와 <math> g(x) </math>가 폐구간 <math>[a, b]</math> 에서 연속이고 개구간 <math>(a, b)</math> 에서 미분가능하면

<math> (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c) </math> 인 c가 개구간 <math>(a, b)</math> 안에 적어도 하나 존재한다.

=== 증명 ===
다음과 같은 <math> h(x) </math> 를 정의하자.
><math> h(x) = \{f(b) - f(a)\}g(x) - \{g(b) - g(a)\}f(x) </math>
그러면 <math> h(a) = h(b) </math> 이므로 함수 <math> h(x) </math> 는 [[롤의 정리]]의 모든 조건을 만족시킨다.

따라서 롤의 정리에 의하여 <math> h'(c) = 0 </math> 이며 <math> (f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0 </math> 인 점 <math> c </math> 가 존재한다.

덧붙여 구간 내의 모든 점에서 <math> g'(x) </math> ≠ <math> 0 </math> 이고 <math> g(b) - g(a) </math>  ≠ <math> 0 </math> 이면, <math> \frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)} \ = \frac{f'(c)}{g'(c)} </math> 인 점 <math> c </math> 가 존재한다.

== 부정형 <math>\frac{0}{0}</math>에 대한 로피탈의 정리 ==

=== 진술 ===
함수 <math> f(x) </math>와 <math> g(x) </math>가 <math> x=a </math> 를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능하고

<math> f(x) =  g(x) = 0 </math> 이며 <math> g'(x) \neq 0  ( x \neq a )</math> 이고 극한값 <math>\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} </math> 가 존재하면 <math>\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} </math>이다.

=== 증명 ===
<math> a </math> 에 가까운 <math> x </math> 에 대하여 코시의 평균값의 정리를 적용하면 <math> a </math>와 <math> x </math> 사이의 어떤 <math> c </math>가 있어 다음이 성립한다.
><math> h'(c) = 0 </math> 이며 <math> (f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c) </math>
<math> f(a) = g(a) = 0 </math> 이고 <math> g'(x) \neq 0 </math>이므로 <math> g'(x)\neq 0 </math> (<math> x \neq a </math>) 이므로
<math> \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} </math> 를 얻는다.

<math> x </math> → <math> a </math> 이면 <math> c </math> → <math> a </math> 이므로  
<math>\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c \to a} \frac{f'(c)}{g'(c)} =  \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} </math>이다.

== 영상 ==
[youtube(Z-4Vp6931fs)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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