Mean Value Theorem (MVT)
미적분학의 기본정리와 더불어 미적분학의 뼈대를 떠받치고 있는 매우 중요한 정리이다. 이 정리의 기본적인 아이디어는 실수값 함수에서의 미분 꼴에서 출발하지만 수많은 일반화와 확장 형식들
(1) 이 존재한다. 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy)이다.
함수
f ( x ) f(x) f ( x ) 가 폐구간
[ a , b ] [a, b] [ a , b ] 에서 연속이고 개구간
( a , b ) (a, b) ( a , b ) 에서 미분 가능하면
f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a ( a < c < b ) f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \, (a<c<b) f ′ ( c ) = b − a f ( b ) − f ( a ) ( a < c < b ) 를 만족시키는
c c c 가 적어도 하나 존재한다.
f ( b ) − f ( a ) b − a = k \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = k \, b − a f ( b ) − f ( a ) = k 라 하면
A B ↔ : g ( x ) = k ( x − a ) + f ( a ) \overleftrightarrow { AB }: g(x) = k(x-a)+f(a) A B : g ( x ) = k ( x − a ) + f ( a ) 이다.
h ( x ) = f ( x ) − k ( x − a ) + f ( a ) h(x) = f(x) - {k(x-a) + f(a)} h ( x ) = f ( x ) − k ( x − a ) + f ( a ) 라 하면
h ( x ) h(x) h ( x ) 는 폐구간
[ a , b ] [a, b] [ a , b ] 에서 연속이고 개구간
( a , b ) (a, b) ( a , b ) 에서 미분가능하며
h ( a ) = h ( b ) = 0 h(a) = h(b) = 0 h ( a ) = h ( b ) = 0 이다.
따라서
롤의 정리 에 의하여
h ′ ( c ) = 0 h'(c) = 0 h ′ ( c ) = 0 인
c c c 가 $a$와 $b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.
미분하면
h ′ ( x ) = f ′ ( x ) − k h'(x) = f'(x)-k h ′ ( x ) = f ′ ( x ) − k 가 성립하므로
h ′ ( c ) = 0 h'(c) = 0 h ′ ( c ) = 0 에서
h ′ ( c ) = f ′ ( c ) − k = 0 h'(c) = f'(c)-k = 0 h ′ ( c ) = f ′ ( c ) − k = 0 ∴
f ′ ( c ) = k f'(c) = k f ′ ( c ) = k 따라서
f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a ( a < c < b ) f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \, (a<c<b) f ′ ( c ) = b − a f ( b ) − f ( a ) ( a < c < b ) 를 만족시키는
c c c 가 적어도 하나 존재한다.
함수
f ( x ) f(x) f ( x ) 와
g ( x ) g(x) g ( x ) 가 폐구간
[ a , b ] [a, b] [ a , b ] 에서 연속이고 개구간
( a , b ) (a, b) ( a , b ) 에서 미분가능하면
( f ( b ) − f ( a ) ) g ′ ( c ) = ( g ( b ) − g ( a ) ) f ′ ( c ) (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c) ( f ( b ) − f ( a )) g ′ ( c ) = ( g ( b ) − g ( a )) f ′ ( c ) 인 c가 개구간
( a , b ) (a, b) ( a , b ) 안에 적어도 하나 존재한다.
다음과 같은
h ( x ) h(x) h ( x ) 를 정의하자.
h ( x ) = { f ( b ) − f ( a ) } g ( x ) − { g ( b ) − g ( a ) } f ( x ) h(x) = \{f(b) - f(a)\}g(x) - \{g(b) - g(a)\}f(x) h ( x ) = { f ( b ) − f ( a )} g ( x ) − { g ( b ) − g ( a )} f ( x ) 그러면
h ( a ) = h ( b ) h(a) = h(b) h ( a ) = h ( b ) 이므로 함수
h ( x ) h(x) h ( x ) 는
롤의 정리 의 모든 조건을 만족시킨다.
따라서 롤의 정리에 의하여
h ′ ( c ) = 0 h'(c) = 0 h ′ ( c ) = 0 이며
( f ( b ) − f ( a ) ) g ′ ( c ) − ( g ( b ) − g ( a ) ) f ′ ( c ) = 0 (f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0 ( f ( b ) − f ( a )) g ′ ( c ) − ( g ( b ) − g ( a )) f ′ ( c ) = 0 인 점
c c c 가 존재한다.
덧붙여 구간 내의 모든 점에서
g ′ ( x ) g'(x) g ′ ( x ) ≠
0 0 0 이고
g ( b ) − g ( a ) g(b) - g(a) g ( b ) − g ( a ) ≠
0 0 0 이면,
f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( c ) g ′ ( c ) \frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)} \ = \frac{f'(c)}{g'(c)} g ( b ) − g ( a ) f ( b ) − f ( a ) = g ′ ( c ) f ′ ( c ) 인 점
c c c 가 존재한다.
4. 부정형 0 0 \frac{0}{0} 0 0 ✎ ⊖
함수
f ( x ) f(x) f ( x ) 와
g ( x ) g(x) g ( x ) 가
x = a x=a x = a 를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능하고
f ( x ) = g ( x ) = 0 f(x) = g(x) = 0 f ( x ) = g ( x ) = 0 이며
g ′ ( x ) ≠ 0 ( x ≠ a ) g'(x) \neq 0 ( x \neq a ) g ′ ( x ) = 0 ( x = a ) 이고 극한값
lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} lim x → a g ′ ( x ) f ′ ( x ) 가 존재하면
lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} lim x → a g ( x ) f ( x ) = lim x → a g ′ ( x ) f ′ ( x ) 이다.
a a a 에 가까운
x x x 에 대하여 코시의 평균값의 정리를 적용하면
a a a 와
x x x 사이의 어떤
c c c 가 있어 다음이 성립한다.
h ′ ( c ) = 0 h'(c) = 0 h ′ ( c ) = 0 이며
( f ( b ) − f ( a ) ) g ′ ( c ) = ( g ( b ) − g ( a ) ) f ′ ( c ) (f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c) ( f ( b ) − f ( a )) g ′ ( c ) = ( g ( b ) − g ( a )) f ′ ( c ) f ( a ) = g ( a ) = 0 f(a) = g(a) = 0 f ( a ) = g ( a ) = 0 이고
g ′ ( x ) ≠ 0 g'(x) \neq 0 g ′ ( x ) = 0 이므로
g ′ ( x ) ≠ 0 g'(x)\neq 0 g ′ ( x ) = 0 (
x ≠ a x \neq a x = a ) 이므로
f ( x ) g ( x ) = f ′ ( c ) g ′ ( c ) \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} g ( x ) f ( x ) = g ′ ( c ) f ′ ( c ) 를 얻는다.
x x x →
a a a 이면
c c c →
a a a 이므로
lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim c → a f ′ ( c ) g ′ ( c ) = lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c \to a} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} lim x → a g ( x ) f ( x ) = lim c → a g ′ ( c ) f ′ ( c ) = lim x → a g ′ ( x ) f ′ ( x ) 이다.
