(+)분류 : 가져온 문서/오메가
Mean Value Theorem (MVT)
미적분학의 기본정리와 더불어 미적분학의 뼈대를 떠받치고 있는 매우 중요한 정리이다. 이 정리의 기본적인 아이디어는 실수값 함수에서의 미분 꼴에서 출발하지만 수많은 일반화와 확장 형식들(1)이 존재한다. 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy)이다.
1. 진술 ✎ ⊖
함수 f(x) 가 폐구간 [a, b]에서 연속이고 개구간 (a, b)에서 미분 가능하면
를 만족시키는 c 가 적어도 하나 존재한다.
f'(c) = \\frac{f(b) - f(a)}{b-a} \\, (a<c<b)
를 만족시키는 c 가 적어도 하나 존재한다.
2. 증명 ✎ ⊖
\\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = k \\, 라 하면 \\overleftrightarrow { AB }: g(x) = k(x-a)+f(a) 이다.
h(x) = f(x) - {k(x-a) + f(a)} 라 하면 h(x) 는 폐구간 [a, b]에서 연속이고 개구간 (a, b)에서 미분가능하며 h(a) = h(b) = 0 이다.
따라서 롤의 정리에 의하여 h'(c) = 0 인 c 가 $a$와 $b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.
미분하면 h'(x) = f'(x)-k 가 성립하므로 h'(c) = 0 에서 h'(c) = f'(c)-k = 0
따라서 f'(c) = \\frac{f(b) - f(a)}{b-a} \\, (a<c<b) 를 만족시키는 c 가 적어도 하나 존재한다.
h(x) = f(x) - {k(x-a) + f(a)} 라 하면 h(x) 는 폐구간 [a, b]에서 연속이고 개구간 (a, b)에서 미분가능하며 h(a) = h(b) = 0 이다.
따라서 롤의 정리에 의하여 h'(c) = 0 인 c 가 $a$와 $b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.
미분하면 h'(x) = f'(x)-k 가 성립하므로 h'(c) = 0 에서 h'(c) = f'(c)-k = 0
∴ f'(c) = k
따라서 f'(c) = \\frac{f(b) - f(a)}{b-a} \\, (a<c<b) 를 만족시키는 c 가 적어도 하나 존재한다.
3. 일반화 ✎ ⊖
3.1. 진술 ✎ ⊖
함수 f(x) 와 g(x) 가 폐구간 [a, b] 에서 연속이고 개구간 (a, b) 에서 미분가능하면
(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c) 인 c가 개구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다.
(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c) 인 c가 개구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다.
3.2. 증명 ✎ ⊖
다음과 같은 h(x) 를 정의하자.
그러면 h(a) = h(b) 이므로 함수 h(x) 는 롤의 정리의 모든 조건을 만족시킨다.
따라서 롤의 정리에 의하여 h'(c) = 0 이며 (f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0 인 점 c 가 존재한다.
덧붙여 구간 내의 모든 점에서 g'(x) ≠ 0 이고 g(b) - g(a) ≠ 0 이면, \\frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)} \\ = \\frac{f'(c)}{g'(c)} 인 점 c 가 존재한다.
h(x) = \\{f(b) - f(a)\\}g(x) - \\{g(b) - g(a)\\}f(x)
그러면 h(a) = h(b) 이므로 함수 h(x) 는 롤의 정리의 모든 조건을 만족시킨다.
따라서 롤의 정리에 의하여 h'(c) = 0 이며 (f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0 인 점 c 가 존재한다.
덧붙여 구간 내의 모든 점에서 g'(x) ≠ 0 이고 g(b) - g(a) ≠ 0 이면, \\frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)} \\ = \\frac{f'(c)}{g'(c)} 인 점 c 가 존재한다.
4. 부정형 \\frac{0}{0}에 대한 로피탈의 정리 ✎ ⊖
4.1. 진술 ✎ ⊖
함수 f(x) 와 g(x) 가 x=a 를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능하고
f(x) = g(x) = 0 이며 g'(x) \\neq 0 ( x \\neq a ) 이고 극한값 \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)} 가 존재하면 \\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)} 이다.
f(x) = g(x) = 0 이며 g'(x) \\neq 0 ( x \\neq a ) 이고 극한값 \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)} 가 존재하면 \\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)} 이다.
4.2. 증명 ✎ ⊖
a 에 가까운 x 에 대하여 코시의 평균값의 정리를 적용하면 a 와 x 사이의 어떤 c 가 있어 다음이 성립한다.
f(a) = g(a) = 0 이고 g'(x) \\neq 0 이므로 g'(x)\\neq 0 ( x \\neq a ) 이므로
\\frac{f(x)}{g(x)} = \\frac{f'(c)}{g'(c)} 를 얻는다.
x → a 이면 c → a 이므로
\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{c \\to a} \\frac{f'(c)}{g'(c)} = \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)} 이다.
h'(c) = 0 이며 (f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)
f(a) = g(a) = 0 이고 g'(x) \\neq 0 이므로 g'(x)\\neq 0 ( x \\neq a ) 이므로
\\frac{f(x)}{g(x)} = \\frac{f'(c)}{g'(c)} 를 얻는다.
x → a 이면 c → a 이므로
\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{c \\to a} \\frac{f'(c)}{g'(c)} = \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)} 이다.
