피타고라스의 정리 (편집)

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Pythagorean theorem

피타고라스의 정리는 다음을 말한다.
>하나의 평면 위에 존재하는 직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다.
같은 의미의 다음 수식으로도 잘 알려져 있다.
>[math(C)]가 직각인 [math(\triangle ABC)]에 대해 [math(a^2+b^2=c^2)] 이다.
여기서, [math(a,\ b)]가 [[자연수]]일지라도 [math(c)]는 [[무리수]]가 될 수 있다. 이러한 사실은 수 체계 확장에도 기여하였다.

== 증명 ==
=== 피타고라스 증명법 ===
한 변의 길이가 [math(a+b)]인 정사각형에 대하여 직각을 이루는 두 변이 각각 [math(a, b)], 빗변이 [math(c)]인 길이의 합동인 직각삼각형 4개를 이용해 변을 나눌 경우 내부의 사각형의 한 내각은 ★ = 180˚ - ● - ◆ = 180˚ - 90˚ = 90˚가 되어 한 변의 길이가 c인 정사각형이 되며 그 넓이는 [math(c^{2})] 이다.

전체 정사각형의 넓이는 [math((a+b)^{2})]이고, 4개의 직각삼각형의 넓이의 합은 [math(4 \times \frac{1}{2} \times a\times b = 2ab)] 이다. 따라서 내부의 정사각형의 넓이는 [math((a+b)^{2} - 2ab = a^{2}+b^{2})] 이 되고 이는 위에서 [math(c^2)] 과 같다고 하였으므로 [math(a^{2}+b^{2}=c^{2})] 이다.

=== 가필드 증명법 ===
밑변의 길이가 각각 [math(a, b)] 이고, 나머지 두 변 중 한 변이 두 밑변과 수직으로 만나며 그 길이는 [math(a+b)]인 사다리꼴이 있다고 하자. 2개의 직각을 이루는 두 변의 길이가 각각 [math(a, b)] 이고, 빗변의 길이가 [math(c)] 인 합동인 직각 삼각형을 이용하여 변을 나눌 경우 내부의 삼각형의 빗변이 아닌 두 변의 길이는 [math(c)] 로 같으며, 그 사잇각은 ★ = 180˚ - ● - ◆ = 180˚ - 90˚ = 90˚ 가 되어 직각이등변삼각형이 된다. 따라서 내부 삼각형의 넓이는 [math(\frac{1}{2} c^{2})] 이다.

전체 사다리꼴의 넓이는 [math(\frac{1}{2} \times (a+b) \times (a+b) = \frac{1}{2} (a+b)^{2})] 이고 2개의 직각삼각형의 넓이의 합은 [math(2 \times \frac{1}{2} \times a \times b = ab)] 이므로
(내부 삼각형의 넓이) = (사다리꼴의 넓이) - (2개의 직각삼각형의 넓이) = [math(\frac{1}{2} (a+b)^{2}-ab = \frac{1}{2} (a^{2}+b^{2}) = \frac{1}{2} c^{2})] 에서 [math(a^{2}+b^{2}=c^{2})] 이다.

가필드는 미국의 제20대 대통령으로, 수학에 상당한 취미를 가지고 있었다고 한다. 위와 같은 증명 방법은 가필드가 하원의원으로 재직할 때 발견한 것이다.

== 응용 ==
피타고라스의 정리는 해석기하학에서 아주 유용하게 쓰이고 있다.

2차원 직교 좌표계에서 두 점의 좌표 [math(A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2}))] 가 주어졌을 때, 두 점을 빗변의 양 끝점으로 하는 직각삼각형을 생각할 수 있다.

이때 두 점의 x축 방향으로의 거리는 [math(|x_{2}-x_{1}|)] 이고, y축 방향으로의 거리는 [math(|y_{2}-y_{1}|)] 이다.

따라서 두 점 사이의 거리는 피타고라스의 정리를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

>[math(\overline{AB} = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}})]

이러한 성질은 3차원 공간으로 확장시켜도 적용될 수 있다. 같은 방법으로 [math(\overline{AB} )] 의 길이는 다음과 같이 구할 수 있다.

>[math(\overline{AB} = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}})]

== 제한 ==
피타고라스의 정리는 일반적으로 유클리드 공간에서 적용된다. 반면 구면, 곡면 등에서는 적용되지 않는 한계가 있다.

== 참고 문헌 ==
아래 사이트는 피타고라스의 정리에 대한 다양한 증명을 포함하고 있다.
* [[http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml|Pythagorean Theorem]]

== 영상 ==
[youtube(PLMAULYCNco)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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