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Pythagorean theorem
피타고라스의 정리는 다음을 말한다.
하나의 평면 위에 존재하는 직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다.
같은 의미의 다음 수식으로도 잘 알려져 있다.
C가 직각인 \\triangle ABC에 대해 a^2+b^2=c^2 이다.
여기서, a,\\ b가 자연수일지라도 c는 무리수가 될 수 있다. 이러한 사실은 수 체계 확장에도 기여하였다.
1. 증명 ✎ ⊖
1.1. 피타고라스 증명법 ✎ ⊖
한 변의 길이가 a+b인 정사각형에 대하여 직각을 이루는 두 변이 각각 a, b, 빗변이 c인 길이의 합동인 직각삼각형 4개를 이용해 변을 나눌 경우 내부의 사각형의 한 내각은 ★ = 180˚ - ● - ◆ = 180˚ - 90˚ = 90˚가 되어 한 변의 길이가 c인 정사각형이 되며 그 넓이는 c^{2} 이다.
전체 정사각형의 넓이는 (a+b)^{2}이고, 4개의 직각삼각형의 넓이의 합은 4 \\times \\frac{1}{2} \\times a\\times b = 2ab 이다. 따라서 내부의 정사각형의 넓이는 (a+b)^{2} - 2ab = a^{2}+b^{2} 이 되고 이는 위에서 c^2 과 같다고 하였으므로 a^{2}+b^{2}=c^{2} 이다.
전체 정사각형의 넓이는 (a+b)^{2}이고, 4개의 직각삼각형의 넓이의 합은 4 \\times \\frac{1}{2} \\times a\\times b = 2ab 이다. 따라서 내부의 정사각형의 넓이는 (a+b)^{2} - 2ab = a^{2}+b^{2} 이 되고 이는 위에서 c^2 과 같다고 하였으므로 a^{2}+b^{2}=c^{2} 이다.
1.2. 가필드 증명법 ✎ ⊖
밑변의 길이가 각각 a, b 이고, 나머지 두 변 중 한 변이 두 밑변과 수직으로 만나며 그 길이는 a+b인 사다리꼴이 있다고 하자. 2개의 직각을 이루는 두 변의 길이가 각각 a, b 이고, 빗변의 길이가 c 인 합동인 직각 삼각형을 이용하여 변을 나눌 경우 내부의 삼각형의 빗변이 아닌 두 변의 길이는 c 로 같으며, 그 사잇각은 ★ = 180˚ - ● - ◆ = 180˚ - 90˚ = 90˚ 가 되어 직각이등변삼각형이 된다. 따라서 내부 삼각형의 넓이는 \\frac{1}{2} c^{2} 이다.
전체 사다리꼴의 넓이는 \\frac{1}{2} \\times (a+b) \\times (a+b) = \\frac{1}{2} (a+b)^{2} 이고 2개의 직각삼각형의 넓이의 합은 2 \\times \\frac{1}{2} \\times a \\times b = ab 이므로
(내부 삼각형의 넓이) = (사다리꼴의 넓이) - (2개의 직각삼각형의 넓이) = \\frac{1}{2} (a+b)^{2}-ab = \\frac{1}{2} (a^{2}+b^{2}) = \\frac{1}{2} c^{2} 에서 a^{2}+b^{2}=c^{2} 이다.
가필드는 미국의 제20대 대통령으로, 수학에 상당한 취미를 가지고 있었다고 한다. 위와 같은 증명 방법은 가필드가 하원의원으로 재직할 때 발견한 것이다.
전체 사다리꼴의 넓이는 \\frac{1}{2} \\times (a+b) \\times (a+b) = \\frac{1}{2} (a+b)^{2} 이고 2개의 직각삼각형의 넓이의 합은 2 \\times \\frac{1}{2} \\times a \\times b = ab 이므로
(내부 삼각형의 넓이) = (사다리꼴의 넓이) - (2개의 직각삼각형의 넓이) = \\frac{1}{2} (a+b)^{2}-ab = \\frac{1}{2} (a^{2}+b^{2}) = \\frac{1}{2} c^{2} 에서 a^{2}+b^{2}=c^{2} 이다.
가필드는 미국의 제20대 대통령으로, 수학에 상당한 취미를 가지고 있었다고 한다. 위와 같은 증명 방법은 가필드가 하원의원으로 재직할 때 발견한 것이다.
2. 응용 ✎ ⊖
피타고라스의 정리는 해석기하학에서 아주 유용하게 쓰이고 있다.
2차원 직교 좌표계에서 두 점의 좌표 A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2}) 가 주어졌을 때, 두 점을 빗변의 양 끝점으로 하는 직각삼각형을 생각할 수 있다.
이때 두 점의 x축 방향으로의 거리는 |x_{2}-x_{1}| 이고, y축 방향으로의 거리는 |y_{2}-y_{1}| 이다.
따라서 두 점 사이의 거리는 피타고라스의 정리를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
이러한 성질은 3차원 공간으로 확장시켜도 적용될 수 있다. 같은 방법으로 \\overline{AB} 의 길이는 다음과 같이 구할 수 있다.
2차원 직교 좌표계에서 두 점의 좌표 A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2}) 가 주어졌을 때, 두 점을 빗변의 양 끝점으로 하는 직각삼각형을 생각할 수 있다.
이때 두 점의 x축 방향으로의 거리는 |x_{2}-x_{1}| 이고, y축 방향으로의 거리는 |y_{2}-y_{1}| 이다.
따라서 두 점 사이의 거리는 피타고라스의 정리를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
\\overline{AB} = \\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}
이러한 성질은 3차원 공간으로 확장시켜도 적용될 수 있다. 같은 방법으로 \\overline{AB} 의 길이는 다음과 같이 구할 수 있다.
\\overline{AB} = \\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}
3. 제한 ✎ ⊖
피타고라스의 정리는 일반적으로 유클리드 공간에서 적용된다. 반면 구면, 곡면 등에서는 적용되지 않는 한계가 있다.
4. 참고 문헌 ✎ ⊖
아래 사이트는 피타고라스의 정리에 대한 다양한 증명을 포함하고 있다.
