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하우스도르프 극대원리
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[[분류:가져온 문서/오메가]] Hausdorff maximality principle [[선택공리]]와 동치인 정리 중 하나로, 추상대수학과 위상수학에서는 선택공리보다 사용하기 편리한 경우가 많다.[* 이 원리는 부분 순서 집합 내에서 전순서 부분 집합들의 모임이 특정한 조건을 만족하면, 그 모임 안에서 더 이상 확장될 수 없는 가장 큰 전순서 부분 집합이 반드시 존재한다는 것을 보장한다. 이는 복잡한 구조를 가진 집합 내에서 선형적인 순서를 갖는 가장 큰 부분을 찾는 데 유용하게 활용된다.] == 진술 == [[반순서집합]] [math((P, ≤))] 의 [[전순서집합|전순서]]부분집합족을 [math(\mathscr{P})] 라고 하면, 반순서집합 [math((\mathscr{P}, ⊆))] 은 적어도 하나의 극대원소를 갖는다. == 증명 == 다음의 두 명제가 성립한다. === 보조정리 1 === 반순서집합 [math((\mathcal{P}(X), ⊆)\ (X\neq \varnothing))] 의 반순서부분집합 [math(\mathcal{A})] 에 대해 [math(\displaystyle \sup \mathcal{A} = \bigcup_{A\in \mathcal{A}} A,\ \inf \mathcal{A} = \bigcap_{A\in \mathcal{A}} A)] 이다. ==== 증명 ==== 임의의 [math(A\in\mathcal{A})] 에 대해 [math(\displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A⊇A)] 이므로 이는 [math(\mathcal{A})]의 상계이다. [math(\mathcal{A})]의 다른 상계 [math(B)]가 있다면 마찬가지로 임의의 [math(A\in\mathcal{A})]에 대해 [math(B⊇A)]이어야 하므로 [math(B⊇\displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A)] 이다. 따라서 [math(\displaystyle \sup \mathcal{A} = \bigcup_{A\in \mathcal{A}} A)] 가 성립하고, 같은 방법으로 [math(\displaystyle \inf \mathcal{A} = \bigcap_{A\in \mathcal{A}} A)]도 증명된다. === 보조정리 2 === 반순서집합 [math((A, ≤))] 의 임의의 [[사슬]]의 최소상계가 [math(A)]에 속하면 [math(\forall a\in A\ f(a)≥a)] 인 [math(f:A\to A)]에 대해 [math(\exists p\in A\ f(p)=p)] 이다. === 증명 === 반순서집합 [math((\mathscr{P}, ⊆))]가 극대원소를 갖지 않는다고 가정하면 [math(T\in \mathscr{P})]에 대해 [math(T'=\{T^*\in \mathscr{P}|T^*⊃T\}\neq \varnothing)] 가 존재한다. [[선택공리]]에 의해 [math(T')]가 정의역인 [math(g(T')\in T')]인 함수 [math(g)] 가 존재하므로 [math(f(T) = g(T'))] 인 [math(f:\mathscr{P} \to \mathscr{P})] 가 존재한다. 보조정리 1 에 의해 [math((\mathscr{P}, ⊆))]가 보조정리 2 의 가정을 만족하지만 [math(T⊂f(T))] 이므로 모순이다. 따라서 주어진 명제는 참이다. == 참고 문헌 == * Shwu-Yeng T Lin, You-Feng Lin (1999) Set Theory: An Intuitive Approach. ISBN 0-395-17088-5. [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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[[분류:가져온 문서/오메가]] Hausdorff maximality principle [[선택공리]]와 동치인 정리 중 하나로, 추상대수학과 위상수학에서는 선택공리보다 사용하기 편리한 경우가 많다.[* 이 원리는 부분 순서 집합 내에서 전순서 부분 집합들의 모임이 특정한 조건을 만족하면, 그 모임 안에서 더 이상 확장될 수 없는 가장 큰 전순서 부분 집합이 반드시 존재한다는 것을 보장한다. 이는 복잡한 구조를 가진 집합 내에서 선형적인 순서를 갖는 가장 큰 부분을 찾는 데 유용하게 활용된다.] == 진술 == [[반순서집합]] [math((P, ≤))] 의 [[전순서집합|전순서]]부분집합족을 [math(\mathscr{P})] 라고 하면, 반순서집합 [math((\mathscr{P}, ⊆))] 은 적어도 하나의 극대원소를 갖는다. == 증명 == 다음의 두 명제가 성립한다. === 보조정리 1 === 반순서집합 [math((\mathcal{P}(X), ⊆)\ (X\neq \varnothing))] 의 반순서부분집합 [math(\mathcal{A})] 에 대해 [math(\displaystyle \sup \mathcal{A} = \bigcup_{A\in \mathcal{A}} A,\ \inf \mathcal{A} = \bigcap_{A\in \mathcal{A}} A)] 이다. ==== 증명 ==== 임의의 [math(A\in\mathcal{A})] 에 대해 [math(\displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A⊇A)] 이므로 이는 [math(\mathcal{A})]의 상계이다. [math(\mathcal{A})]의 다른 상계 [math(B)]가 있다면 마찬가지로 임의의 [math(A\in\mathcal{A})]에 대해 [math(B⊇A)]이어야 하므로 [math(B⊇\displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A)] 이다. 따라서 [math(\displaystyle \sup \mathcal{A} = \bigcup_{A\in \mathcal{A}} A)] 가 성립하고, 같은 방법으로 [math(\displaystyle \inf \mathcal{A} = \bigcap_{A\in \mathcal{A}} A)]도 증명된다. === 보조정리 2 === 반순서집합 [math((A, ≤))] 의 임의의 [[사슬]]의 최소상계가 [math(A)]에 속하면 [math(\forall a\in A\ f(a)≥a)] 인 [math(f:A\to A)]에 대해 [math(\exists p\in A\ f(p)=p)] 이다. === 증명 === 반순서집합 [math((\mathscr{P}, ⊆))]가 극대원소를 갖지 않는다고 가정하면 [math(T\in \mathscr{P})]에 대해 [math(T'=\{T^*\in \mathscr{P}|T^*⊃T\}\neq \varnothing)] 가 존재한다. [[선택공리]]에 의해 [math(T')]가 정의역인 [math(g(T')\in T')]인 함수 [math(g)] 가 존재하므로 [math(f(T) = g(T'))] 인 [math(f:\mathscr{P} \to \mathscr{P})] 가 존재한다. 보조정리 1 에 의해 [math((\mathscr{P}, ⊆))]가 보조정리 2 의 가정을 만족하지만 [math(T⊂f(T))] 이므로 모순이다. 따라서 주어진 명제는 참이다. == 참고 문헌 == * Shwu-Yeng T Lin, You-Feng Lin (1999) Set Theory: An Intuitive Approach. ISBN 0-395-17088-5. [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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