하우스도르프 극대원리

최근 수정 시각 : 2025-03-18 00:27:24 | 조회수 : 29

Hausdorff maximality principle

선택공리와 동치인 정리 중 하나로, 추상대수학과 위상수학에서는 선택공리보다 사용하기 편리한 경우가 많다.(1)

목차

1. 진술
2. 증명
2.1. 보조정리 1
2.1.1. 증명
2.2. 보조정리 2
2.3. 증명
3. 참고 문헌

1. 진술

반순서집합 (P,)(P, ≤)전순서부분집합족을 P\mathscr{P} 라고 하면, 반순서집합 (P,)(\mathscr{P}, ⊆) 은 적어도 하나의 극대원소를 갖는다.

2. 증명

다음의 두 명제가 성립한다.

2.1. 보조정리 1

반순서집합 (P(X),) (X)(\mathcal{P}(X), ⊆)\ (X\neq \varnothing) 의 반순서부분집합 A\mathcal{A} 에 대해 supA=AAA, infA=AAA\displaystyle \sup \mathcal{A} = \bigcup_{A\in \mathcal{A}} A,\ \inf \mathcal{A} = \bigcap_{A\in \mathcal{A}} A 이다.

2.1.1. 증명

임의의 AAA\in\mathcal{A} 에 대해 AAAA\displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A⊇A 이므로 이는 A\mathcal{A}의 상계이다. A\mathcal{A}의 다른 상계 BB가 있다면 마찬가지로 임의의 AAA\in\mathcal{A}에 대해 BAB⊇A이어야 하므로 BAAAB⊇\displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A 이다. 따라서 supA=AAA\displaystyle \sup \mathcal{A} = \bigcup_{A\in \mathcal{A}} A 가 성립하고, 같은 방법으로 infA=AAA\displaystyle \inf \mathcal{A} = \bigcap_{A\in \mathcal{A}} A도 증명된다.

2.2. 보조정리 2

반순서집합 (A,)(A, ≤) 의 임의의 사슬의 최소상계가 AA에 속하면 aA f(a)a\forall a\in A\ f(a)≥af:AAf:A\to A에 대해 pA f(p)=p\exists p\in A\ f(p)=p 이다.

2.3. 증명

반순서집합 (P,)(\mathscr{P}, ⊆)가 극대원소를 갖지 않는다고 가정하면 TPT\in \mathscr{P}에 대해 T={TPTT}T'=\{T^*\in \mathscr{P}|T^*⊃T\}\neq \varnothing 가 존재한다. 선택공리에 의해 TT'가 정의역인 g(T)Tg(T')\in T'인 함수 gg 가 존재하므로 f(T)=g(T)f(T) = g(T')f:PPf:\mathscr{P} \to \mathscr{P} 가 존재한다. 보조정리 1 에 의해 (P,)(\mathscr{P}, ⊆)가 보조정리 2 의 가정을 만족하지만 Tf(T)T⊂f(T) 이므로 모순이다. 따라서 주어진 명제는 참이다.

3. 참고 문헌

  • Shwu-Yeng T Lin, You-Feng Lin (1999) Set Theory: An Intuitive Approach. ISBN 0-395-17088-5.

이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 오메가에서 가져왔으며 CC BY-NC-SA 3.0에 따라 이용할 수 있습니다.
(1) 이 원리는 부분 순서 집합 내에서 전순서 부분 집합들의 모임이 특정한 조건을 만족하면, 그 모임 안에서 더 이상 확장될 수 없는 가장 큰 전순서 부분 집합이 반드시 존재한다는 것을 보장한다. 이는 복잡한 구조를 가진 집합 내에서 선형적인 순서를 갖는 가장 큰 부분을 찾는 데 유용하게 활용된다.