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Hausdorff maximality principle
선택공리와 동치인 정리 중 하나로, 추상대수학과 위상수학에서는 선택공리보다 사용하기 편리한 경우가 많다.(1)
1. 진술 ✎ ⊖
2. 증명 ✎ ⊖
다음의 두 명제가 성립한다.
2.1. 보조정리 1 ✎ ⊖
반순서집합 의 반순서부분집합 에 대해 이다.
2.1.1. 증명 ✎ ⊖
임의의 에 대해 이므로 이는 의 상계이다. 의 다른 상계 가 있다면 마찬가지로 임의의 에 대해 이어야 하므로 이다. 따라서 가 성립하고, 같은 방법으로 도 증명된다.
2.2. 보조정리 2 ✎ ⊖
2.3. 증명 ✎ ⊖
반순서집합 가 극대원소를 갖지 않는다고 가정하면 에 대해 가 존재한다. 선택공리에 의해 가 정의역인 인 함수 가 존재하므로 인 가 존재한다. 보조정리 1 에 의해 가 보조정리 2 의 가정을 만족하지만 이므로 모순이다. 따라서 주어진 명제는 참이다.
3. 참고 문헌 ✎ ⊖
- Shwu-Yeng T Lin, You-Feng Lin (1999) Set Theory: An Intuitive Approach. ISBN 0-395-17088-5.
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(1) 이 원리는 부분 순서 집합 내에서 전순서 부분 집합들의 모임이 특정한 조건을 만족하면, 그 모임 안에서 더 이상 확장될 수 없는 가장 큰 전순서 부분 집합이 반드시 존재한다는 것을 보장한다. 이는 복잡한 구조를 가진 집합 내에서 선형적인 순서를 갖는 가장 큰 부분을 찾는 데 유용하게 활용된다.