함수 (편집) - 시드위키

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Function

다음 두 가지를 만족하는 집합 A, B의 [[곱집합]] [math(A\times B)]의 부분집합 [math(f)]를 말한다.

* [math(\forall x\in A, \ \exists y \in B \ s.t. \ (x, y)\in f)]
* [math((x,y_1)\in f, \ (x,y_2)\in f \rightarrow y_1=y_2)]

함수는 [math(f:A\to B)]와 같이 표기할 수 있다. 함수의 개념을 일반화한 것으로 사상이 있으나 함수와 엄밀하게 구별하지는 않는다.

== 설명 ==
함수의 개념을 배울 때 상자에 수를 넣으면 그에 따라 다른 수가 튀어나오거나, 두 집합의 원소가 있어 한 집합에서 다른 집합으로 연결하는 그림들을 많이 봤을 것이다. 그런데 생각해보면 똑같은 정의이므로 위의 정의에서 수식이 튀어나온다고 당황할 것 없다.

* 집합 [math(A=\{x_{1},x_{2},x_{3},\cdot\cdot\cdot\},\ B=\{y_{1},y_{2},y_{3},\cdot\cdot\cdot\})]를 생각하고 모든 [math(x∈A)]가 어떤 [math(y∈B)]로 대응할 때, 이를 집합 [math(f)]의 원소 [math((x,y))]로 쓰자. <br>
* [math(A)]의 원소 하나에 [math(B)]의 원소 하나만 대응될 수 있다.

그러면 [math(f)]는 집합 A, B의 [[곱집합]] [math(A \times B = \{(x_{1},y_{1}),(x_{1},y_{2}),(x_{1},y_{3}),\cdot\cdot\cdot,(x_{2},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{2},y_{3}),\cdot\cdot\cdot\})]의 부분집합이다.

=== 예시 ===
[math(A=\{a, b\}, B=\{x, y, z\})]인 [math(f:A\to B)]에서 [math(f(a)=y,\ f(b)=z)]이면 [math(f)]는 [math(\{(a,y),(b,z)\})]인 함수이며 이는 [math(A\times B=\{(a, x), (a, y), (a,z), (b,x),(b,y),(b,z)\})] 의 부분집합이다.

== 구분 ==
=== 일대일함수(단사함수) ===
[math(f:A\to B)]에서 [math(x\in A, y\in B)]일 때, [math((x_1,y)\in f, \ (x_2,y)\in f \rightarrow x_1=x_2)]인 함수 [math(f)]를 말한다.

=== 전사함수 ===
[math(f:A\to B)]에서 [math(\{y\in B|y=f(x), \exists x\in A\}=B)]인 함수 [math(f)]를 말한다.

=== 일대일대응(전단사함수) ===
[math(f:A\to B)]에서 [math(x\in A, y\in B)]일 때, [math((x_1,y)\in f, \ (x_2,y)\in f \rightarrow x_1=x_2)]이고 [math(\{y|y=f(x), \exists x\}=B)]인 함수 [math(f)]를 말한다.

=== 항등함수 ===
[math(f:A\to B　(A⊆B))]에서 모든 [math(x\in A)]에 대해 [math(x=f(x))]인 함수 [math(f)]를 말한다.

=== 상수함수 ===
[math(f:A\to B)]에서 임의의 [math(x∈A)] 에 대해 [math(f(x)∈B)] 가 항상 같은 함수 [math(f)]를 말한다.

=== 역함수 ===
일대일대응인 [math(f:A\to B)]에 대한 [math(g:B\to A)]를 [math(f)]의 역함수라고 하며, [math(g=f^{-1})]로 쓴다.

=== 합성함수 ===
[math(f:A\to B)]와 [math(g:C\to D\ (B⊆C))]를 합성하면 [math(g(f(x)))]가 되며, [math(g∘f)]로 쓴다. [math(f∘f=f)]이면 이 [math(f)]는 멱등함수이다.

=== 우함수 ===
[math(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R})]에서 [math(f(-x)=f(x))] 인 함수 [math(f)]를 말한다.

=== 기함수 ===
[math(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R})]에서 [math(f(-x)=-f(x))] 인 함수 [math(f)]를 말한다.

=== 수론적 함수 ===
[math(f:\mathbb{N}\to \mathbb{C})]인 함수 [math(f)]를 말한다.

== 종류 ==
* 다항 함수: x의 몇제곱과 상수항으로만 이루어져 있는 함수.
* 분수 함수
* 무리 함수
* 디감마 함수
* 제타 함수
* 최대 정수 함수
=== 개별 문서가 있는 함수 ===
* [[베타 함수]]
* [[감마 함수]]
* [[오일러 파이 함수]]
* [[뫼비우스 함수]]
* [[부호 함수]]
== 영상 ==
[youtube(By8YkK8nVjk)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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