구각 정리 (편집) (1)

== 증명 ==
이름에 맞게 어떤 구각을 생각한다. 좌표계의 원점은 구각의 중심으로 하고, 계산의 편의성을 돕고자 구면좌표계를 이용한다. 이렇게 설정했을 때 어떤 점의 위치는

[math( \vec{x} = r \hat{\boldsymbol{r}} )]

로 나타낼 수 있다. 여기서 코사인 법칙을 쓰면 구각 위의 어떤 점과 그 점의 거리 [math( \delta )]는 구각의 반지름 [math( R )]과 그 점과 중심 사이의 거리 [math( r )]과

[math( {\delta}^{2} = {R}^{2} + {r}^{2} - 2 R r \cos \theta )]

의 관계식을 가진다. 여기서 [math( \theta )]는 구각의 중심과 그 점을 잇는 직선과 구각의 중심과 구각 위의 한 점을 잇는 직선 사이의 각의 크기로, [math( 0 \leq \theta \leq {\pi} / {2} )]이다. 그리고 구각 위의 한 점과 그 점을 잇는 직선과 구각의 중심과 그 점을 잇는 직선 사이의 각의 크기 [math( \varphi )] 역시 코사인 법칙에 따라

[math( \cos \varphi = \frac{{\delta}^{2} + {r}^{2} - {R}^{2}}{2 \delta r} )]

로 나타낸다.[* 코사인만 남기는 이유는 같은 [math( \theta )] 원뿔 상에 있는 모든 점에서 나온 장선의 성분 중 구각의 중심과 그 점을 잇는 직선과 평행한 성분만 남기 때문이다.] 여기서 역제곱의 법칙으로 기술되는 장을 쓰면

[math( \vec{\mathcal{F}} (\vec{x}) = \mathcal{K} \oint_{A} \frac{\sigma (R, \theta, \phi)}{{\delta}^{2}} \hat{\boldsymbol{\delta}} dA )]

로 나타낼 수 있다. 그런데 실제로는 구각의 중심으로부터 뻗어나오는 방향으로의 성분만 남기 때문에

[math( {\mathcal{F}}_{r} (r) = \mathcal{K} {R}^{2} \sigma \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{{\delta}^{2}} \cos \varphi \sin \theta \, d \theta \, d \phi = \mathcal{K} \frac{\pi {R}^{2} \sigma}{r} \int_{0}^{\pi} \frac{{\delta}^{2} + {r}^{2} - {R}^{2}}{{\delta}^{3}} \sin \theta \, d \theta )]

로 표현할 수 있다. 앞에서 미리 적은 코사인 법칙을 미분하면 [math( \sin \theta \, d \theta = {\delta} / {R r} \, d \delta )]이 되므로

[math( {\mathcal{F}}_{r} (r) = \mathcal{K} \frac{\pi R \sigma}{{r}^{2}} \int_{{\delta}_{\text{min}}}^{{\delta}_{\text{max}}} 1 + ({r}^{2} - {R}^{2}) \frac{1}{{\delta}^{2}} \, d \delta )]

가 된다. 이때 구각 내부([math( r < R )])와 구각 외부([math( r > R )])로 나눌 수 있다.

(임시 저장) (임시 저장 불러오기)

(↪️) (💎) (🛠️) (추가)