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球殼 定理 / Ball Shell Theorem
중력장이나 정전기장처럼 역제곱의 법칙을 따르는 장에 대하여, 구각의 내부는 힘이 전혀 작용하지 않는다는 정리이다. 구각 정리의 기본 가정은 다음과 같다.
- 그 장의 원천이 되는 물리량의 면밀도가 \\sigma 로 일정하다.
- 구각 위의 모든 점은 구의 중심에 대하여 같은 거리에 존재한다.
- 구각의 두께는 매우 얇다.
만일 두 가정이 만족되지 않는다면 구각 정리의 결과를 만족시키지 못할 수 있다. 하지만 세번째 가정은 꼭 만족하지 않아도 구각 내부는 구각 정리의 결과를 만족한다.(1)
1. 증명 ✎ ⊖
이름에 맞게 어떤 구각을 생각한다. 좌표계의 원점은 구각의 중심으로 하고, 계산의 편의성을 돕고자 구면좌표계를 이용한다. 이렇게 설정했을 때 어떤 점의 위치는
\\vec{x} = r \\hat{\\boldsymbol{r}}
로 나타낼 수 있다. 여기서 코사인 법칙을 쓰면 구각 위의 어떤 점과 그 점의 거리 \\delta 는 구각의 반지름 R 과 그 점과 중심 사이의 거리 r 과
{\\delta}^{2} = {R}^{2} + {r}^{2} - 2 R r \\cos \\theta
의 관계식을 가진다. 여기서 \\theta 는 구각의 중심과 그 점을 잇는 직선과 구각의 중심과 구각 위의 한 점을 잇는 직선 사이의 각의 크기로, 0 \\leq \\theta \\leq {\\pi} / {2} 이다. 그리고 구각 위의 한 점과 그 점을 잇는 직선과 구각의 중심과 그 점을 잇는 직선 사이의 각의 크기 \\varphi 역시 코사인 법칙에 따라
\\cos \\varphi = \\frac{{\\delta}^{2} + {r}^{2} - {R}^{2}}{2 \\delta r}
로 나타낸다.(2) 여기서 역제곱의 법칙으로 기술되는 장을 쓰면
\\vec{\\mathcal{F}} (\\vec{x}) = \\mathcal{K} \\oint_{A} \\frac{\\sigma (R, \\theta, \\phi)}{{\\delta}^{2}} \\hat{\\boldsymbol{\\delta}} dA
로 나타낼 수 있다. 그런데 실제로는 구각의 중심으로부터 뻗어나오는 방향으로의 성분만 남기 때문에
{\\mathcal{F}}_{r} (r) = \\mathcal{K} {R}^{2} \\sigma \\int_{0}^{2 \\pi} \\int_{0}^{\\pi} \\frac{1}{{\\delta}^{2}} \\cos \\varphi \\sin \\theta \\, d \\theta \\, d \\phi = \\mathcal{K} \\frac{\\pi {R}^{2} \\sigma}{r} \\int_{0}^{\\pi} \\frac{{\\delta}^{2} + {r}^{2} - {R}^{2}}{{\\delta}^{3}} \\sin \\theta \\, d \\theta
로 표현할 수 있다. 앞에서 미리 적은 코사인 법칙을 미분하면 \\sin \\theta \\, d \\theta = {\\delta} / {R r} \\, d \\delta 이 되므로
{\\mathcal{F}}_{r} (r) = \\mathcal{K} \\frac{\\pi R \\sigma}{{r}^{2}} \\int_{{\\delta}_{\\text{min}}}^{{\\delta}_{\\text{max}}} 1 + ({r}^{2} - {R}^{2}) \\frac{1}{{\\delta}^{2}} \\, d \\delta
가 된다. 이때 구각 내부( r < R )와 구각 외부( r > R )로 나눌 수 있다.
\\vec{x} = r \\hat{\\boldsymbol{r}}
로 나타낼 수 있다. 여기서 코사인 법칙을 쓰면 구각 위의 어떤 점과 그 점의 거리 \\delta 는 구각의 반지름 R 과 그 점과 중심 사이의 거리 r 과
{\\delta}^{2} = {R}^{2} + {r}^{2} - 2 R r \\cos \\theta
의 관계식을 가진다. 여기서 \\theta 는 구각의 중심과 그 점을 잇는 직선과 구각의 중심과 구각 위의 한 점을 잇는 직선 사이의 각의 크기로, 0 \\leq \\theta \\leq {\\pi} / {2} 이다. 그리고 구각 위의 한 점과 그 점을 잇는 직선과 구각의 중심과 그 점을 잇는 직선 사이의 각의 크기 \\varphi 역시 코사인 법칙에 따라
\\cos \\varphi = \\frac{{\\delta}^{2} + {r}^{2} - {R}^{2}}{2 \\delta r}
로 나타낸다.(2) 여기서 역제곱의 법칙으로 기술되는 장을 쓰면
\\vec{\\mathcal{F}} (\\vec{x}) = \\mathcal{K} \\oint_{A} \\frac{\\sigma (R, \\theta, \\phi)}{{\\delta}^{2}} \\hat{\\boldsymbol{\\delta}} dA
로 나타낼 수 있다. 그런데 실제로는 구각의 중심으로부터 뻗어나오는 방향으로의 성분만 남기 때문에
{\\mathcal{F}}_{r} (r) = \\mathcal{K} {R}^{2} \\sigma \\int_{0}^{2 \\pi} \\int_{0}^{\\pi} \\frac{1}{{\\delta}^{2}} \\cos \\varphi \\sin \\theta \\, d \\theta \\, d \\phi = \\mathcal{K} \\frac{\\pi {R}^{2} \\sigma}{r} \\int_{0}^{\\pi} \\frac{{\\delta}^{2} + {r}^{2} - {R}^{2}}{{\\delta}^{3}} \\sin \\theta \\, d \\theta
로 표현할 수 있다. 앞에서 미리 적은 코사인 법칙을 미분하면 \\sin \\theta \\, d \\theta = {\\delta} / {R r} \\, d \\delta 이 되므로
{\\mathcal{F}}_{r} (r) = \\mathcal{K} \\frac{\\pi R \\sigma}{{r}^{2}} \\int_{{\\delta}_{\\text{min}}}^{{\\delta}_{\\text{max}}} 1 + ({r}^{2} - {R}^{2}) \\frac{1}{{\\delta}^{2}} \\, d \\delta
가 된다. 이때 구각 내부( r < R )와 구각 외부( r > R )로 나눌 수 있다.
1.1. 구각 내부 ✎ ⊖
구각 내부의 경우 {\\delta}_{\\text{min}} = R - r 이고 {\\delta}_{\\text{max}} = R + r 이다. 따라서 위의 식의 적분 부분을 풀면
\\int_{{\\delta}_{\\text{min}}}^{{\\delta}_{\\text{max}}} 1 + ({r}^{2} - {R}^{2}) \\frac{1}{{\\delta}^{2}} \\, d \\delta = 2 r + ({r}^{2} - {R}^{2}) {\\left [ - \\frac{1}{r} \\right ]}_{{\\delta}_{\\text{min}}}^{{\\delta}_{\\text{max}}} = 2 r + ({r}^{2} - {R}^{2}) \\frac{2 r}{{R}^{2} - {r}^{2}} = 0
이므로 구각 내부에서는 아무런 힘이 작용하지 않는다.
\\int_{{\\delta}_{\\text{min}}}^{{\\delta}_{\\text{max}}} 1 + ({r}^{2} - {R}^{2}) \\frac{1}{{\\delta}^{2}} \\, d \\delta = 2 r + ({r}^{2} - {R}^{2}) {\\left [ - \\frac{1}{r} \\right ]}_{{\\delta}_{\\text{min}}}^{{\\delta}_{\\text{max}}} = 2 r + ({r}^{2} - {R}^{2}) \\frac{2 r}{{R}^{2} - {r}^{2}} = 0
이므로 구각 내부에서는 아무런 힘이 작용하지 않는다.
1.2. 구각 외부 ✎ ⊖
구각 외부의 경우 {\\delta}_{\\text{min}} = r - R 이고 {\\delta}_{\\text{max}} = r + R 이다. 따라서 위의 식의 적분 부분을 풀면
\\int_{{\\delta}_{\\text{min}}}^{{\\delta}_{\\text{max}}} 1 + ({r}^{2} - {R}^{2}) \\frac{1}{{\\delta}^{2}} \\, d \\delta = 2 R + ({r}^{2} - {R}^{2}) {\\left [ - \\frac{1}{r} \\right ]}_{{\\delta}_{\\text{min}}}^{{\\delta}_{\\text{max}}} = 2 R + ({r}^{2} - {R}^{2}) \\frac{2 R}{{r}^{2} - {R}^{2}} = 4 R
이므로
\\mathcal{K} \\frac{4 \\pi {R}^{2} \\sigma}{{r}^{2}} = \\mathcal{K} \\frac{\\mathcal{S}}{{r}^{2}}
가 되어 이는 중심에 점원천으로 존재하는 것과 같다는 결과를 보여준다. 따라서
라는 결과로 구각 정리를 증명하였다.
\\int_{{\\delta}_{\\text{min}}}^{{\\delta}_{\\text{max}}} 1 + ({r}^{2} - {R}^{2}) \\frac{1}{{\\delta}^{2}} \\, d \\delta = 2 R + ({r}^{2} - {R}^{2}) {\\left [ - \\frac{1}{r} \\right ]}_{{\\delta}_{\\text{min}}}^{{\\delta}_{\\text{max}}} = 2 R + ({r}^{2} - {R}^{2}) \\frac{2 R}{{r}^{2} - {R}^{2}} = 4 R
이므로
\\mathcal{K} \\frac{4 \\pi {R}^{2} \\sigma}{{r}^{2}} = \\mathcal{K} \\frac{\\mathcal{S}}{{r}^{2}}
가 되어 이는 중심에 점원천으로 존재하는 것과 같다는 결과를 보여준다. 따라서
- 구각 내부에서는 힘이 작용하지 않는다.
- 구각 외부에서는 점원천으로 존재하는 것과 같은 힘을 가한다.
라는 결과로 구각 정리를 증명하였다.
