리만 가설 (편집) (1)

== 진술 ==
먼저 [math(\Re{s}>1)]일 때

><math>\zeta(s):=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^s}</math>

라고 정의하자. 그리고 이를 리만 제타 함수라고 부르자. 이제 우리는 다음 내용의 복소해석학의 한 정리를 보자.

* [math(\Bbb{C})]에서 [math(f)]가 [math(\Bbb{C})]의 한 개집합 [math(U_1)]에서 해석적이고 [math(g)]가 [math(\Bbb{C})]의 개집합 [math(U_2)]에서 해석적이라고 하자. 이제 [math(U_1\cap U_2)]가 공집합이 아니고 [math(U_1\cap U_2)]의 한 개집합 [math(U_3)]에서 [math(f=g)]라면 [math(U_1\cap U_2)]에서도 [math(f=g)]다.

이는 일반화시켜 이렇게도 표현될 수 있다

* [math(f)]와 [math(g)]가 [math(\Bbb{C})]의 [[개집합]] [math(U)]에서 정의되고 해석적이라고 하자. 그리고 [math(U)] 위의 수열 [math(\{z_n\})]이 있어 [math(f(z_n)=g(z_n))]이라고 하자. 그러면 [math(U)]에서 [math(f=g)]다.

이 정리의 의미는 [math(f)]가 [math(U_1)]에서 정의되고 [math(g)]가 [math(U_1)]을 포함하는 [math(U_2)]에서 정의된다고 하고 [math(f=g)] on [math(U_1)]이라면 [math(g)]는 [math(f)]의 확장이라고 할 수 있다는 것이다. 이는 [math(U_1)]에서 정의되는 다른 [math(h)]를 정의해서 [math(U_1)]에서 [math(f=h)]나 [math(g=h)]가 되어도 마찬가지다.

이제 다시 본론으로 돌아가자. 우리는 [math(\zeta(s))]가 [math(\Re{s}>1)]에서 균등수렴, 절대수렴함을 알 수 있고 그러므로 [math(\zeta(s))]는 [math(\{s\in \Bbb{C}:\Re{s}>1\})]이라는 개집합 위에서 정의되는 해석적인 함수이다. 우리는

<math>\zeta(s)=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^s}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}-\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{(2n)^s}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}-\frac{1}{2^s}\zeta(s)</math>

임을 알 수 있고 이제

<math>\eta(s):=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}</math>

라고 정의하자. 그러면

[math(\eta(s))]는 [math(\{s\in \Bbb{C}:\Re{s}>0\})]

에서 정의되는 해석적인 함수이다. 이제 위의 식을 정리하면

[math((1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)=\eta(s))]

가 되고 그러므로 우리는

를 얻을 수 있다. 이는 [math(\Re{s}>1)]에서 잘 성립하며 이제 우리는 이를 새로운 리만 제타 함수의 정의로 이것을 삼자. 그러니까

라고 하자. 그러면 이렇게 정의한 리만 가설은 [math(\Re{s}>0)]에서 잘 정의되면서 해석적이며 맨 앞에서 정의한 리만 제타 함수과 [math(\Re{s}>1)]에서 완전히 똑같으며 우리는 리만 가설의 정의역을 '확장' 했다고 말할 수 있다. 이는 중요한 의미를 가지고 앞으로 [math(\Bbb{C})] 전체에서 정의되는 [math(\zeta(s))]와 [math(\Re{s}>1)]에서 같은 모든 해석적인 함수들은 반드시 [math(\Re{s}>0)]에서도 같아야 한다.

이제 리만 가설을 설명할 수 있게 되었다. 리만 가설은 이렇게 표현된다.

* [math(\zeta(s)=0)]의 모든 자명하지 않은 근 [math(s)]는 [math(\Re{s}=\frac{1}{2})]를 만족한다.

여기에서 [math(s=-2n\ (n \in \Bbb{N}))]도 [math(\zeta(s)=0)]을 만족하게 되는데, 이를 자명한 근이라고 한다.

(임시 저장) (임시 저장 불러오기)

(↪️) (💎) (🛠️) (추가)