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Riemann hypothesis
1859년 베른하르트 리만이 처음 형식화한 것으로 수학사에서 정수론의 미해결 문제 중 유명한 문제이다. 이 가설은 리만 제타 함수의 영점에 대한 추측이다.
리만 가설은 소수의 규칙성과 연관되어 있는 것이 특징이다. 적절한 일반화와 함께, 이 문제는 순수수학에서 해결되지 않은 중요한 몇 가지 수학 문제 중 하나이다. 리만 가설은 힐베르트의 힐베르트의 문제들 중 골드바흐의 추측과 함께 힐베르트의 8번째 문제와, 클레이 수학연구소의 밀레니엄 문제 중 하나에 속한다. 이것은 공식화된 이후에도 미해결된 상태로 남아 있다.
1. 진술 ✎ ⊖
먼저 \\Re{s}>1일 때
라고 정의하자. 그리고 이를 리만 제타 함수라고 부르자. 이제 우리는 다음 내용의 복소해석학의 한 정리를 보자.
이는 일반화시켜 이렇게도 표현될 수 있다
이 정리의 의미는 f가 U_1에서 정의되고 g가 U_1을 포함하는 U_2에서 정의된다고 하고 f=g on U_1이라면 g는 f의 확장이라고 할 수 있다는 것이다. 이는 U_1에서 정의되는 다른 h를 정의해서 U_1에서 f=h나 g=h가 되어도 마찬가지다.
이제 다시 본론으로 돌아가자. 우리는 \\zeta(s)가 \\Re{s}>1에서 균등수렴, 절대수렴함을 알 수 있고 그러므로 \\zeta(s)는 \\{s\\in \\Bbb{C}:\\Re{s}>1\\}이라는 개집합 위에서 정의되는 해석적인 함수이다. 우리는
\\zeta(s)=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{1}{n^s}=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}-\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{1}{(2n)^s}=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}-\\frac{1}{2^s}\\zeta(s)
임을 알 수 있고 이제
\\eta(s):=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}
라고 정의하자. 그러면
\\eta(s)는 \\{s\\in \\Bbb{C}:\\Re{s}>0\\}
에서 정의되는 해석적인 함수이다. 이제 위의 식을 정리하면
(1-\\frac{1}{2^s})\\zeta(s)=\\eta(s)
가 되고 그러므로 우리는
\\zeta(s)=\\frac{1}{1-\\frac{1}{2^s}}\\eta(s)
를 얻을 수 있다. 이는 \\Re{s}>1에서 잘 성립하며 이제 우리는 이를 새로운 리만 제타 함수의 정의로 이것을 삼자. 그러니까
\\zeta(s):=\\frac{1}{1-\\frac{1}{2^s}}\\eta(s)
라고 하자. 그러면 이렇게 정의한 리만 가설은 \\Re{s}>0에서 잘 정의되면서 해석적이며 맨 앞에서 정의한 리만 제타 함수과 \\Re{s}>1에서 완전히 똑같으며 우리는 리만 가설의 정의역을 '확장' 했다고 말할 수 있다. 이는 중요한 의미를 가지고 앞으로 \\Bbb{C} 전체에서 정의되는 \\zeta(s)와 \\Re{s}>1에서 같은 모든 해석적인 함수들은 반드시 \\Re{s}>0에서도 같아야 한다.
이제 리만 가설을 설명할 수 있게 되었다. 리만 가설은 이렇게 표현된다.
여기에서 s=-2n\\ (n \\in \\Bbb{N})도 \\zeta(s)=0을 만족하게 되는데, 이를 자명한 근이라고 한다.
\\zeta(s):=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{1}{n^s}
라고 정의하자. 그리고 이를 리만 제타 함수라고 부르자. 이제 우리는 다음 내용의 복소해석학의 한 정리를 보자.
- \\Bbb{C}에서 f가 \\Bbb{C}의 한 개집합 U_1에서 해석적이고 g가 \\Bbb{C}의 개집합 U_2에서 해석적이라고 하자. 이제 U_1\\cap U_2가 공집합이 아니고 U_1\\cap U_2의 한 개집합 U_3에서 f=g라면 U_1\\cap U_2에서도 f=g다.
이는 일반화시켜 이렇게도 표현될 수 있다
- f와 g가 \\Bbb{C}의 개집합 U에서 정의되고 해석적이라고 하자. 그리고 U 위의 수열 \\{z_n\\}이 있어 f(z_n)=g(z_n)이라고 하자. 그러면 U에서 f=g다.
이 정리의 의미는 f가 U_1에서 정의되고 g가 U_1을 포함하는 U_2에서 정의된다고 하고 f=g on U_1이라면 g는 f의 확장이라고 할 수 있다는 것이다. 이는 U_1에서 정의되는 다른 h를 정의해서 U_1에서 f=h나 g=h가 되어도 마찬가지다.
이제 다시 본론으로 돌아가자. 우리는 \\zeta(s)가 \\Re{s}>1에서 균등수렴, 절대수렴함을 알 수 있고 그러므로 \\zeta(s)는 \\{s\\in \\Bbb{C}:\\Re{s}>1\\}이라는 개집합 위에서 정의되는 해석적인 함수이다. 우리는
\\zeta(s)=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{1}{n^s}=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}-\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{1}{(2n)^s}=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}-\\frac{1}{2^s}\\zeta(s)
임을 알 수 있고 이제
\\eta(s):=\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}
라고 정의하자. 그러면
\\eta(s)는 \\{s\\in \\Bbb{C}:\\Re{s}>0\\}
에서 정의되는 해석적인 함수이다. 이제 위의 식을 정리하면
(1-\\frac{1}{2^s})\\zeta(s)=\\eta(s)
가 되고 그러므로 우리는
\\zeta(s)=\\frac{1}{1-\\frac{1}{2^s}}\\eta(s)
를 얻을 수 있다. 이는 \\Re{s}>1에서 잘 성립하며 이제 우리는 이를 새로운 리만 제타 함수의 정의로 이것을 삼자. 그러니까
\\zeta(s):=\\frac{1}{1-\\frac{1}{2^s}}\\eta(s)
라고 하자. 그러면 이렇게 정의한 리만 가설은 \\Re{s}>0에서 잘 정의되면서 해석적이며 맨 앞에서 정의한 리만 제타 함수과 \\Re{s}>1에서 완전히 똑같으며 우리는 리만 가설의 정의역을 '확장' 했다고 말할 수 있다. 이는 중요한 의미를 가지고 앞으로 \\Bbb{C} 전체에서 정의되는 \\zeta(s)와 \\Re{s}>1에서 같은 모든 해석적인 함수들은 반드시 \\Re{s}>0에서도 같아야 한다.
이제 리만 가설을 설명할 수 있게 되었다. 리만 가설은 이렇게 표현된다.
- \\zeta(s)=0의 모든 자명하지 않은 근 s는 \\Re{s}=\\frac{1}{2}를 만족한다.
여기에서 s=-2n\\ (n \\in \\Bbb{N})도 \\zeta(s)=0을 만족하게 되는데, 이를 자명한 근이라고 한다.
2. 중요성 ✎ ⊖
먼저 a\\ge \\frac{1}{2}일 때 \\mathrm{Re}{s}>a에서 \\zeta(s)의 zero가 없게 되면 x\\ge 1일 때
\\vartheta(x):=\\sum_{p\\le x}\\ln{p}
라고 정의하면 (물론 여기에서 p는 소수라고 하자.)모든 \\varepsilon>0에 대해서
\\vartheta(x)=x+O_{\\varepsilon}(x^{a+\\varepsilon})
이 되기 때문에 소수의 분포에서 이 추측은 매우 중요한 역할을 한다. 현재까지 만들어진 이것의 가장 좋은 잔차항은 x\\ge 3일 때 모든 c>0에 대해서
\\vartheta(x)=x+O_{c}\\left(x\\exp{\\left(-c\\frac{(\\ln{x})^{\\frac{3}{5}}}{(\\ln{\\ln{x}})^{\\frac{1}{5}}}\\right)}\\right)
으로 아직도 a=1에서 벗어나지 못하고 있다.
이것은 매우 강력하며 이것이 증명되면 홀수 골드바흐의 추측 (n\\ge 7일 때 n은 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.)를 증명할 수 있으며 그 외에도 수많은 정리들이 이것이 증명되었다는 가정 하에서 만들어졌다. 또는 가우스의 클래스 번호 추측처럼 리만 가설이 증명되었다고 가정하고 증명하고 또 이것이 거짓이란 가정 하에 증명해서 그 명제가 참임을 보인 명제가 있다.
\\vartheta(x):=\\sum_{p\\le x}\\ln{p}
라고 정의하면 (물론 여기에서 p는 소수라고 하자.)모든 \\varepsilon>0에 대해서
\\vartheta(x)=x+O_{\\varepsilon}(x^{a+\\varepsilon})
이 되기 때문에 소수의 분포에서 이 추측은 매우 중요한 역할을 한다. 현재까지 만들어진 이것의 가장 좋은 잔차항은 x\\ge 3일 때 모든 c>0에 대해서
\\vartheta(x)=x+O_{c}\\left(x\\exp{\\left(-c\\frac{(\\ln{x})^{\\frac{3}{5}}}{(\\ln{\\ln{x}})^{\\frac{1}{5}}}\\right)}\\right)
으로 아직도 a=1에서 벗어나지 못하고 있다.
이것은 매우 강력하며 이것이 증명되면 홀수 골드바흐의 추측 (n\\ge 7일 때 n은 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.)를 증명할 수 있으며 그 외에도 수많은 정리들이 이것이 증명되었다는 가정 하에서 만들어졌다. 또는 가우스의 클래스 번호 추측처럼 리만 가설이 증명되었다고 가정하고 증명하고 또 이것이 거짓이란 가정 하에 증명해서 그 명제가 참임을 보인 명제가 있다.
3. 유사한 것 ✎ ⊖
리만 제타 함수뿐만 아니라 디리클레 L-함수(Dirichlet L-function)의 영(Zero)에 대해서도 리만 가설과 비슷한 것을 생각할 수 있고 이를 일반화된 리만 가설이라고 하며 역시 증명되지 않았다.
베유의 추측(Weil conjecture)이라는 \\Bbb{C}가 아닌 유한체에서 정의된 제타함수의 영에 대한 추측이 있었는데 이는 1973년에 들리뉴(Deligne)에 의해서 증명된다. 이것은 보통 리만 가설과는 좀 다르게 대수기하학과 호몰로지 대수학에 대한 깊은 이해를 필요로 한다. 이것의 증명은 해석적 정수론에서 지수합(Exponential sum)의 유계(Bound)에 큰 역할을 했다.
베유의 추측(Weil conjecture)이라는 \\Bbb{C}가 아닌 유한체에서 정의된 제타함수의 영에 대한 추측이 있었는데 이는 1973년에 들리뉴(Deligne)에 의해서 증명된다. 이것은 보통 리만 가설과는 좀 다르게 대수기하학과 호몰로지 대수학에 대한 깊은 이해를 필요로 한다. 이것의 증명은 해석적 정수론에서 지수합(Exponential sum)의 유계(Bound)에 큰 역할을 했다.
