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리만 가설
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2481,3272
== 중요성 == 먼저 [math(a\ge \frac{1}{2})]일 때 [math(\mathrm{Re}{s}>a)]에서 [math(\zeta(s))]의 zero가 없게 되면 [math(x\ge 1)]일 때 <math>\vartheta(x):=\sum_{p\le x}\ln{p}</math> 라고 정의하면 (물론 여기에서 [math(p)]는 소수라고 하자.)모든 [math(\varepsilon>0)]에 대해서 <math>\vartheta(x)=x+O_{\varepsilon}(x^{a+\varepsilon})</math> 이 되기 때문에 소수의 분포에서 이 추측은 매우 중요한 역할을 한다. 현재까지 만들어진 이것의 가장 좋은 잔차항은 [math(x\ge 3)]일 때 모든 [math(c>0)]에 대해서 <math>\vartheta(x)=x+O_{c}\left(x\exp{\left(-c\frac{(\ln{x})^{\frac{3}{5}}}{(\ln{\ln{x}})^{\frac{1}{5}}}\right)}\right)</math> 으로 아직도 [math(a=1)]에서 벗어나지 못하고 있다. 이것은 매우 강력하며 이것이 증명되면 홀수 골드바흐의 추측 ([math(n\ge 7)]일 때 [math(n)]은 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.)를 증명할 수 있으며 그 외에도 수많은 정리들이 이것이 증명되었다는 가정 하에서 만들어졌다. 또는 가우스의 클래스 번호 추측처럼 리만 가설이 증명되었다고 가정하고 증명하고 또 이것이 거짓이란 가정 하에 증명해서 그 명제가 참임을 보인 명제가 있다.
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== 중요성 == 먼저 [math(a\ge \frac{1}{2})]일 때 [math(\mathrm{Re}{s}>a)]에서 [math(\zeta(s))]의 zero가 없게 되면 [math(x\ge 1)]일 때 <math>\vartheta(x):=\sum_{p\le x}\ln{p}</math> 라고 정의하면 (물론 여기에서 [math(p)]는 소수라고 하자.)모든 [math(\varepsilon>0)]에 대해서 <math>\vartheta(x)=x+O_{\varepsilon}(x^{a+\varepsilon})</math> 이 되기 때문에 소수의 분포에서 이 추측은 매우 중요한 역할을 한다. 현재까지 만들어진 이것의 가장 좋은 잔차항은 [math(x\ge 3)]일 때 모든 [math(c>0)]에 대해서 <math>\vartheta(x)=x+O_{c}\left(x\exp{\left(-c\frac{(\ln{x})^{\frac{3}{5}}}{(\ln{\ln{x}})^{\frac{1}{5}}}\right)}\right)</math> 으로 아직도 [math(a=1)]에서 벗어나지 못하고 있다. 이것은 매우 강력하며 이것이 증명되면 홀수 골드바흐의 추측 ([math(n\ge 7)]일 때 [math(n)]은 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.)를 증명할 수 있으며 그 외에도 수많은 정리들이 이것이 증명되었다는 가정 하에서 만들어졌다. 또는 가우스의 클래스 번호 추측처럼 리만 가설이 증명되었다고 가정하고 증명하고 또 이것이 거짓이란 가정 하에 증명해서 그 명제가 참임을 보인 명제가 있다.
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