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마틴 공리
(편집) (1)
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114,inf
== 진술 == 농도 [math(\kappa)]에서의 마틴의 공리를 MA(κ)라 했을 때 MA(κ)는 다음과 같이 진술된다. [math((P,\le))]가 가산 사슬 조건을 만족하는 반순서집합이고 [math(\{D_\alpha:\alpha<\kappa\})]가 [math(P)] 위에서 조밀한 집합들의 집합이라 하자. 이 때 어떤 필터 [math(F)]가 존재해 임의의 [math(\alpha<\kappa)]에 대해 [math(D_\alpha\cap F\neq\varnothing)]이다. MA(κ)와 동치인 진술로 다음이 있다. >임의의 가산 사슬 조건을 만족하는 컴팩트 하우스도르프 공간 위의 [math(\kappa)]개의 조밀 개집합의 교집합은 공집합이 아니다. 마틴의 공리는 [math(2^{\aleph_0})]보다 작은 모든 무한 기수에 대해서 MA(κ)가 참이라는 것이다. [math(\mathsf{MA}(\aleph_0))]이 참이라는 것과 [math(\mathsf{MA}(2^{\aleph_0}))]이 거짓이란 것은 ZFC 내에서 증명된다. 만약 연속체 가설이 참이라면 마틴의 공리는 크게 의미가 없어지므로, 마틴의 공리를 가정할 때는 일반적으로 연속체 가설을 거짓으로 상정한다. [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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== 진술 == 농도 [math(\kappa)]에서의 마틴의 공리를 MA(κ)라 했을 때 MA(κ)는 다음과 같이 진술된다. [math((P,\le))]가 가산 사슬 조건을 만족하는 반순서집합이고 [math(\{D_\alpha:\alpha<\kappa\})]가 [math(P)] 위에서 조밀한 집합들의 집합이라 하자. 이 때 어떤 필터 [math(F)]가 존재해 임의의 [math(\alpha<\kappa)]에 대해 [math(D_\alpha\cap F\neq\varnothing)]이다. MA(κ)와 동치인 진술로 다음이 있다. >임의의 가산 사슬 조건을 만족하는 컴팩트 하우스도르프 공간 위의 [math(\kappa)]개의 조밀 개집합의 교집합은 공집합이 아니다. 마틴의 공리는 [math(2^{\aleph_0})]보다 작은 모든 무한 기수에 대해서 MA(κ)가 참이라는 것이다. [math(\mathsf{MA}(\aleph_0))]이 참이라는 것과 [math(\mathsf{MA}(2^{\aleph_0}))]이 거짓이란 것은 ZFC 내에서 증명된다. 만약 연속체 가설이 참이라면 마틴의 공리는 크게 의미가 없어지므로, 마틴의 공리를 가정할 때는 일반적으로 연속체 가설을 거짓으로 상정한다. [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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