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Martin's axiom
집합론에서 강제법 공리의 일종이다. 마틴의 공리는 특정한 비가산 기수에 대해서도 forcing construction이 가능하게끔 해 준다.
1. 진술 ✎ ⊖
농도 \\kappa에서의 마틴의 공리를 MA(κ)라 했을 때 MA(κ)는 다음과 같이 진술된다.
(P,\\le)가 가산 사슬 조건을 만족하는 반순서집합이고 \\{D_\\alpha:\\alpha<\\kappa\\}가 P 위에서 조밀한 집합들의 집합이라 하자. 이 때 어떤 필터 F가 존재해 임의의 \\alpha<\\kappa에 대해 D_\\alpha\\cap F\\neq\\varnothing이다.
MA(κ)와 동치인 진술로 다음이 있다.
마틴의 공리는 2^{\\aleph_0}보다 작은 모든 무한 기수에 대해서 MA(κ)가 참이라는 것이다. \\mathsf{MA}(\\aleph_0)이 참이라는 것과 \\mathsf{MA}(2^{\\aleph_0})이 거짓이란 것은 ZFC 내에서 증명된다. 만약 연속체 가설이 참이라면 마틴의 공리는 크게 의미가 없어지므로, 마틴의 공리를 가정할 때는 일반적으로 연속체 가설을 거짓으로 상정한다.
(P,\\le)가 가산 사슬 조건을 만족하는 반순서집합이고 \\{D_\\alpha:\\alpha<\\kappa\\}가 P 위에서 조밀한 집합들의 집합이라 하자. 이 때 어떤 필터 F가 존재해 임의의 \\alpha<\\kappa에 대해 D_\\alpha\\cap F\\neq\\varnothing이다.
MA(κ)와 동치인 진술로 다음이 있다.
임의의 가산 사슬 조건을 만족하는 컴팩트 하우스도르프 공간 위의 \\kappa개의 조밀 개집합의 교집합은 공집합이 아니다.
마틴의 공리는 2^{\\aleph_0}보다 작은 모든 무한 기수에 대해서 MA(κ)가 참이라는 것이다. \\mathsf{MA}(\\aleph_0)이 참이라는 것과 \\mathsf{MA}(2^{\\aleph_0})이 거짓이란 것은 ZFC 내에서 증명된다. 만약 연속체 가설이 참이라면 마틴의 공리는 크게 의미가 없어지므로, 마틴의 공리를 가정할 때는 일반적으로 연속체 가설을 거짓으로 상정한다.
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