스킴 (편집) (1) - 시드위키

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== 정의 ==
먼저 [math(A)]가 commutative ring일 때 [math(\text{Spec}\,A)]를 정의하는데 이는 [math(A)]의 모든 소 아이디얼들의 모임으로 정의된다. 그리고 우리는 이제 [math(\text{Spec}\,A)]에다 위상을 줄 것이다. 우리는 [math(a)]가 [math(A)]의 ideal일 때 [math(V)][math(a)]를 [math(a)]를 포함하는 소 아이디얼들의 모임이라고 하자. 그러면 다음 둘이 성립한다.

(i) [math(V((0))=\text{Spec}\,{A})]
(ii) [math(V(\mathfrak{a}\mathfrak{b})=V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}))]

우리는 [math(V(a))]꼴을 closed set으로 삼으면 [math(\text{Spec}\,A)]에다 적당한 위상을 준다.

이제 [math(\mathcal{O})]라는 걸 만들 차례인데 [math(\mathcal{O})]는 위상공간 [math(\text{Spec}\,A)] 위의 sheaf이며 그 section은 다음과 같이 정의된다.

[math(s:U\to \displaystyle\bigsqcup_{\mathfrak{p}\in U}A_{\mathfrak{p}})]

여기에서 [math(U)]는 [math(\text{Spec}\,A)]의 open set이고 [math(A_{\mathfrak{p}})]는 [math(A)]를 [math(\mathfrak{p})]에서 localization시킨 것이다. 그러면 다음 두 유용한 정리가 성립한다.

* [math(\mathcal{O})]의 stalk를 [math(\mathfrak{p})]에서 구한 것은 [math(A_{\mathfrak{p}})]가 된다.
* [math(a∈A)]일 때 [math(D((a)))]를 [math(V((a)))]의 여집합이라고 할 때 [math(O(D((a))=A_a)]가 된다. 여기에서 [math(A_a)]는 [math(A)]를 [math(a)]에서 localization시킨 것이다.

이 두 정리는 스킴 이론에서 기본이 되는 정리며 나중에 여러가지 유용한 개념을 만들게 된다.

우리는 이 두 개를 묶어서 [math(\text{Spec}\,A,\mathcal{O})]라고 쓰는 것이 가능하며 이는 locally ringed space가 된다. 그리고 이런 꼴 locally ringed space을 아핀 스킴이라고 하자. 여기에는 다음과 같은 유용한 성질이 성립한다.

[math(A→B)]라는 사상이 있을 때 이것은 [math((\text{Spec}\,B,\mathcal{O}_{\text{Spec}\,B}) \to (\text{Spec}\,A,\mathcal{O}_{\text{Spec}\,A}))]라는 사상을 만들고 이는 역도 성립한다.

이제 모든 준비가 끝났다. 스킴은 다음과 같이 정의된다.

[math((X,\mathcal{O}))]가 locally ringed space라고 하자. 이 때 [math(x∈X)]에 대해서 적당한 [math(x)]의 개근방 [math(X)]가 있어서 [math((U,O_X|_U))]가 affine 스킴이 된다면 [math(X)]를 스킴이라고 한다.

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