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스킴(Scheme)이란 대수적으로 닫힌 체에서만 정의되는 대수다양체를 일반화시킨 것으로 대수다양체를 임의의 체, 더 나아가서 임의의 환이나 아예 기반 대수적 대상 없이 정의할 수도 있다. 이런 일반성을 이용한 신기한 예로 군 스킴(group scheme)이 있다. 스킴을 더 이용해서 스킴을 정의할 때 쓰는 위상공간를 바꿀 수도 있으며 그 예 중 하나가 étale topology이다.
1. 정의 ✎ ⊖
먼저 A가 commutative ring일 때 \\text{Spec}\\,A를 정의하는데 이는 A의 모든 소 아이디얼들의 모임으로 정의된다. 그리고 우리는 이제 \\text{Spec}\\,A에다 위상을 줄 것이다. 우리는 a가 A의 ideal일 때 Va를 a를 포함하는 소 아이디얼들의 모임이라고 하자. 그러면 다음 둘이 성립한다.
(i) V((0))=\\text{Spec}\\,{A}
(ii) V(\\mathfrak{a}\\mathfrak{b})=V(\\mathfrak{a})\\cup V(\\mathfrak{b})
우리는 V(a)꼴을 closed set으로 삼으면 \\text{Spec}\\,A에다 적당한 위상을 준다.
이제 \\mathcal{O}라는 걸 만들 차례인데 \\mathcal{O}는 위상공간 \\text{Spec}\\,A 위의 sheaf이며 그 section은 다음과 같이 정의된다.
s:U\\to \\displaystyle\\bigsqcup_{\\mathfrak{p}\\in U}A_{\\mathfrak{p}}
여기에서 U는 \\text{Spec}\\,A의 open set이고 A_{\\mathfrak{p}}는 A를 \\mathfrak{p}에서 localization시킨 것이다. 그러면 다음 두 유용한 정리가 성립한다.
이 두 정리는 스킴 이론에서 기본이 되는 정리며 나중에 여러가지 유용한 개념을 만들게 된다.
우리는 이 두 개를 묶어서 \\text{Spec}\\,A,\\mathcal{O}라고 쓰는 것이 가능하며 이는 locally ringed space가 된다. 그리고 이런 꼴 locally ringed space을 아핀 스킴이라고 하자. 여기에는 다음과 같은 유용한 성질이 성립한다.
A→B라는 사상이 있을 때 이것은 (\\text{Spec}\\,B,\\mathcal{O}_{\\text{Spec}\\,B}) \\to (\\text{Spec}\\,A,\\mathcal{O}_{\\text{Spec}\\,A})라는 사상을 만들고 이는 역도 성립한다.
이제 모든 준비가 끝났다. 스킴은 다음과 같이 정의된다.
(X,\\mathcal{O})가 locally ringed space라고 하자. 이 때 x∈X에 대해서 적당한 x의 개근방 X가 있어서 (U,O_X|_U)가 affine 스킴이 된다면 X를 스킴이라고 한다.
(i) V((0))=\\text{Spec}\\,{A}
(ii) V(\\mathfrak{a}\\mathfrak{b})=V(\\mathfrak{a})\\cup V(\\mathfrak{b})
우리는 V(a)꼴을 closed set으로 삼으면 \\text{Spec}\\,A에다 적당한 위상을 준다.
이제 \\mathcal{O}라는 걸 만들 차례인데 \\mathcal{O}는 위상공간 \\text{Spec}\\,A 위의 sheaf이며 그 section은 다음과 같이 정의된다.
s:U\\to \\displaystyle\\bigsqcup_{\\mathfrak{p}\\in U}A_{\\mathfrak{p}}
여기에서 U는 \\text{Spec}\\,A의 open set이고 A_{\\mathfrak{p}}는 A를 \\mathfrak{p}에서 localization시킨 것이다. 그러면 다음 두 유용한 정리가 성립한다.
- \\mathcal{O}의 stalk를 \\mathfrak{p}에서 구한 것은 A_{\\mathfrak{p}}가 된다.
- a∈A일 때 D((a))를 V((a))의 여집합이라고 할 때 O(D((a))=A_a가 된다. 여기에서 A_a는 A를 a에서 localization시킨 것이다.
이 두 정리는 스킴 이론에서 기본이 되는 정리며 나중에 여러가지 유용한 개념을 만들게 된다.
우리는 이 두 개를 묶어서 \\text{Spec}\\,A,\\mathcal{O}라고 쓰는 것이 가능하며 이는 locally ringed space가 된다. 그리고 이런 꼴 locally ringed space을 아핀 스킴이라고 하자. 여기에는 다음과 같은 유용한 성질이 성립한다.
A→B라는 사상이 있을 때 이것은 (\\text{Spec}\\,B,\\mathcal{O}_{\\text{Spec}\\,B}) \\to (\\text{Spec}\\,A,\\mathcal{O}_{\\text{Spec}\\,A})라는 사상을 만들고 이는 역도 성립한다.
이제 모든 준비가 끝났다. 스킴은 다음과 같이 정의된다.
(X,\\mathcal{O})가 locally ringed space라고 하자. 이 때 x∈X에 대해서 적당한 x의 개근방 X가 있어서 (U,O_X|_U)가 affine 스킴이 된다면 X를 스킴이라고 한다.
2. 예제 ✎ ⊖
우리는 R이 임의의 가환환이라고 하고 R[x_1,\\cdots,x_n]이 R의 계수로 가지는 변수 n개짜리 다항식들의 환이라고 하자. 그리고
\\Bbb{A}^n_{R}:=\\text{Spec}\\,R[x_1,\\cdots,x_n]
이라고 한다면 \\Bbb{A}^n_{R}은 훌륭한 아핀 스킴이 되며 R이 대수적으로 닫힌 체라고 하면 이는 우리가 잘 아는 아핀 공간이 된다.
이제 조금 다르게 잡아서 사영공간을 만들어보자. A를 graded ring이라고 하고 \\text{Proj}\\,{A}를 A의 homogeneous ideal들의 모임이라고 하자. 그러면 이것은 스킴이 될 수 있음이 알려져있고 이제
\\Bbb{P}^n_{R}:=\\text{Proj}\\,R[x_1,\\cdots,x_n]
이라고 하면 이것은 사영공간이 된다.
우리는 이번에는 예제를 좀 특이하게 잡아서 A를 discrete valuation ring이라고 하고 \\text{Spec}\\,A를 생각해보자. 그러면 이것은 (0)과 또 하나의 소 아이디얼로 이루어진 원소 두개짜리 스킴이 된다. 특히 K가 A의 quotient 체고 A→K가 있을 때 이것은 \\text{Spec}\\,K\\to \\text{Spec}\\,A라는 사상을 만들고 이 사상의 image는 \\text{Spec}\\,A에서 open이면서 dense가 된다. 스킴 theory에서는 이런 점을 generic point라고 하고 나머지 한 점. 그러니까 A의 극대 아이디얼을 special point (또는 closed point)이라고 한다. generic point와 special point는 모든 스킴에 대해서 정의될 수 있으며 generic point는 open이면서 dense고 special point는 언제나 closed가 된다.
앞의 세 예제는 모두 아핀 스킴의 예제다. 하지만 우리는 아핀 스킴의 예제만 있는 것이 아니다. x를 R의 극대 아이디얼이라고 하고 U=\\Bbb{A}^1_{R}\\setminus \\{x\\}라고 하고 똑같은 U 두 개를 gluring시키면 아핀 스킴이 아닌 스킴이 나오게 된다.
\\Bbb{A}^n_{R}:=\\text{Spec}\\,R[x_1,\\cdots,x_n]
이라고 한다면 \\Bbb{A}^n_{R}은 훌륭한 아핀 스킴이 되며 R이 대수적으로 닫힌 체라고 하면 이는 우리가 잘 아는 아핀 공간이 된다.
이제 조금 다르게 잡아서 사영공간을 만들어보자. A를 graded ring이라고 하고 \\text{Proj}\\,{A}를 A의 homogeneous ideal들의 모임이라고 하자. 그러면 이것은 스킴이 될 수 있음이 알려져있고 이제
\\Bbb{P}^n_{R}:=\\text{Proj}\\,R[x_1,\\cdots,x_n]
이라고 하면 이것은 사영공간이 된다.
우리는 이번에는 예제를 좀 특이하게 잡아서 A를 discrete valuation ring이라고 하고 \\text{Spec}\\,A를 생각해보자. 그러면 이것은 (0)과 또 하나의 소 아이디얼로 이루어진 원소 두개짜리 스킴이 된다. 특히 K가 A의 quotient 체고 A→K가 있을 때 이것은 \\text{Spec}\\,K\\to \\text{Spec}\\,A라는 사상을 만들고 이 사상의 image는 \\text{Spec}\\,A에서 open이면서 dense가 된다. 스킴 theory에서는 이런 점을 generic point라고 하고 나머지 한 점. 그러니까 A의 극대 아이디얼을 special point (또는 closed point)이라고 한다. generic point와 special point는 모든 스킴에 대해서 정의될 수 있으며 generic point는 open이면서 dense고 special point는 언제나 closed가 된다.
앞의 세 예제는 모두 아핀 스킴의 예제다. 하지만 우리는 아핀 스킴의 예제만 있는 것이 아니다. x를 R의 극대 아이디얼이라고 하고 U=\\Bbb{A}^1_{R}\\setminus \\{x\\}라고 하고 똑같은 U 두 개를 gluring시키면 아핀 스킴이 아닌 스킴이 나오게 된다.
3. 진짜 대수다양체의 일반화? ✎ ⊖
이 개념은 매우 추상적이기 때문에 이것이 진짜로 대수다양체의 일반화인지 알기 힘들다. 하지만 다음 정리가 존재한다.
k를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 \\mathfrak{Sch}(k)를 X\\to \\text{Spec}\\,k라는 사상이 있는 스킴과 그 사이의 사상들의 category라 하고 \\text{Var}(k)를 k위의 대수다양체와 그 사상으로 이루어진 category라고 하자. 그러면 적당한 functor F:\\mathfrak{Var}(k)\\to \\mathfrak{Sch}(k)가 있어서 이것은 natural full faithful functor가 된다.
이 정리는 스킴이 완벽하게 대수다양체의 일반화가 된다는 것을 말하고 있다. 즉 모든 대수다양체를 스킴으로 취급해도 전혀 문제 없다는 뜻이 된다.
우리는 여기에서 X\\to \\text{Spec}\\,k라는 사상을 썼는데 이는 더 일반화시켜서 S가 스킴이고 X도 스킴일 때 scheme over S를 X→S라는 사상으로 정의할 수 있다. 여기에서 S=\\text{Spec}\\,k (k는 임의의 체)라고 하면 이는 scheme over k가 되고 k를 임의의 가환환으로 바꿀 수도 있다! 사실 이런 정의는 환의 extension에서 추론할 수 있는데 직관적으로 A→B가 injective이면 B가 A 위에 있다고 볼 수 있고, 여기에다가 Spec을 씌어주면 바로 scheme over a ring의 정의와 비슷한 명제가 얻어진다.
k를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 \\mathfrak{Sch}(k)를 X\\to \\text{Spec}\\,k라는 사상이 있는 스킴과 그 사이의 사상들의 category라 하고 \\text{Var}(k)를 k위의 대수다양체와 그 사상으로 이루어진 category라고 하자. 그러면 적당한 functor F:\\mathfrak{Var}(k)\\to \\mathfrak{Sch}(k)가 있어서 이것은 natural full faithful functor가 된다.
이 정리는 스킴이 완벽하게 대수다양체의 일반화가 된다는 것을 말하고 있다. 즉 모든 대수다양체를 스킴으로 취급해도 전혀 문제 없다는 뜻이 된다.
우리는 여기에서 X\\to \\text{Spec}\\,k라는 사상을 썼는데 이는 더 일반화시켜서 S가 스킴이고 X도 스킴일 때 scheme over S를 X→S라는 사상으로 정의할 수 있다. 여기에서 S=\\text{Spec}\\,k (k는 임의의 체)라고 하면 이는 scheme over k가 되고 k를 임의의 가환환으로 바꿀 수도 있다! 사실 이런 정의는 환의 extension에서 추론할 수 있는데 직관적으로 A→B가 injective이면 B가 A 위에 있다고 볼 수 있고, 여기에다가 Spec을 씌어주면 바로 scheme over a ring의 정의와 비슷한 명제가 얻어진다.
4. 간단한 성질 ✎ ⊖
우리는 스킴의 정의를 그대로 써서 x∈X일 때 \\mathcal{O}_{X,x}를 O_X의 x에서 stalk라고 할 때 이것은 local ring이 됨을 쉽게 알 수 있다. 이를 x에서의 local ring이라고 하며 \\mathcal{O}_{X,x}라고 자주 쓴다. 이를 이용한 것으로 \\mathcal{O}_{X,x}의 유일한 극대 아이디얼을 m_x라고 쓸 때 \\mathcal{O}_{X}/\\mathfrak{m}_x는 체가 되며 이것은 정수론에서 중요하게 쓰인다. 이를 x에서 residue field라고 하고 k(x)라고 쓴다.
이제 f:X→Y가 스킴의 사상일 때 우리는 y∈Y이면 그 fibre f^{−1}(y)를 생각할 수 있다. 이는 X 위의 부분스킴(subscheme)이 된다. 하지만 우리는 이것만으로 뭔가를 좀 더 알기 힘들 것 같으므로 다음 개념을 소개한다. X→S←Y라는 스킴의 diagram이 주어져있을때 이것의 pullback을 X×_SY라고 적자. 스킴의 pullback은 언제나 존재함이 알려져있고 그러므로 이 역시 잘 정의된다. 이제 k(y)→O_Y로 만드는 사상 \\text{Spec}\\,k(y)\\to Y를 생각하면 우리는 X\\to Y\\leftarrow \\text{Spec}\\,k(y)라는 diagram을 만들 수 있으며 X\\times_{Y}\\text{Spec}\\,k(y)를 새로운 fibre의 정의로 삼자. 이것은 자명하게 k(y) 위의 스킴이며 위상적으로 생각하면 f^{−1}(y)하고 위상동형이 되므로 완벽한 fibre의 재탄생이 된다.
이제 f:X→Y가 스킴의 사상일 때 우리는 y∈Y이면 그 fibre f^{−1}(y)를 생각할 수 있다. 이는 X 위의 부분스킴(subscheme)이 된다. 하지만 우리는 이것만으로 뭔가를 좀 더 알기 힘들 것 같으므로 다음 개념을 소개한다. X→S←Y라는 스킴의 diagram이 주어져있을때 이것의 pullback을 X×_SY라고 적자. 스킴의 pullback은 언제나 존재함이 알려져있고 그러므로 이 역시 잘 정의된다. 이제 k(y)→O_Y로 만드는 사상 \\text{Spec}\\,k(y)\\to Y를 생각하면 우리는 X\\to Y\\leftarrow \\text{Spec}\\,k(y)라는 diagram을 만들 수 있으며 X\\times_{Y}\\text{Spec}\\,k(y)를 새로운 fibre의 정의로 삼자. 이것은 자명하게 k(y) 위의 스킴이며 위상적으로 생각하면 f^{−1}(y)하고 위상동형이 되므로 완벽한 fibre의 재탄생이 된다.
