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스킴
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3068,3953
== 진짜 대수다양체의 일반화? == 이 개념은 매우 추상적이기 때문에 이것이 진짜로 대수다양체의 일반화인지 알기 힘들다. 하지만 다음 정리가 존재한다. [math(k)]를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 [math(\mathfrak{Sch}(k))]를 [math(X\to \text{Spec}\,k)]라는 사상이 있는 스킴과 그 사이의 사상들의 category라 하고 [math(\text{Var}(k))]를 [math(k)]위의 대수다양체와 그 사상으로 이루어진 category라고 하자. 그러면 적당한 functor [math(F:\mathfrak{Var}(k)\to \mathfrak{Sch}(k))]가 있어서 이것은 natural full faithful functor가 된다. 이 정리는 스킴이 완벽하게 대수다양체의 일반화가 된다는 것을 말하고 있다. 즉 모든 대수다양체를 스킴으로 취급해도 전혀 문제 없다는 뜻이 된다. 우리는 여기에서 [math(X\to \text{Spec}\,k)]라는 사상을 썼는데 이는 더 일반화시켜서 [math(S)]가 스킴이고 [math(X)]도 스킴일 때 scheme over [math(S)]를 [math(X→S)]라는 사상으로 정의할 수 있다. 여기에서 [math(S=\text{Spec}\,k)] ([math(k)]는 임의의 체)라고 하면 이는 scheme over [math(k)]가 되고 [math(k)]를 임의의 가환환으로 바꿀 수도 있다! 사실 이런 정의는 환의 extension에서 추론할 수 있는데 직관적으로 [math(A→B)]가 injective이면 [math(B)]가 [math(A)] 위에 있다고 볼 수 있고, 여기에다가 Spec을 씌어주면 바로 scheme over a ring의 정의와 비슷한 명제가 얻어진다.
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== 진짜 대수다양체의 일반화? == 이 개념은 매우 추상적이기 때문에 이것이 진짜로 대수다양체의 일반화인지 알기 힘들다. 하지만 다음 정리가 존재한다. [math(k)]를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 [math(\mathfrak{Sch}(k))]를 [math(X\to \text{Spec}\,k)]라는 사상이 있는 스킴과 그 사이의 사상들의 category라 하고 [math(\text{Var}(k))]를 [math(k)]위의 대수다양체와 그 사상으로 이루어진 category라고 하자. 그러면 적당한 functor [math(F:\mathfrak{Var}(k)\to \mathfrak{Sch}(k))]가 있어서 이것은 natural full faithful functor가 된다. 이 정리는 스킴이 완벽하게 대수다양체의 일반화가 된다는 것을 말하고 있다. 즉 모든 대수다양체를 스킴으로 취급해도 전혀 문제 없다는 뜻이 된다. 우리는 여기에서 [math(X\to \text{Spec}\,k)]라는 사상을 썼는데 이는 더 일반화시켜서 [math(S)]가 스킴이고 [math(X)]도 스킴일 때 scheme over [math(S)]를 [math(X→S)]라는 사상으로 정의할 수 있다. 여기에서 [math(S=\text{Spec}\,k)] ([math(k)]는 임의의 체)라고 하면 이는 scheme over [math(k)]가 되고 [math(k)]를 임의의 가환환으로 바꿀 수도 있다! 사실 이런 정의는 환의 extension에서 추론할 수 있는데 직관적으로 [math(A→B)]가 injective이면 [math(B)]가 [math(A)] 위에 있다고 볼 수 있고, 여기에다가 Spec을 씌어주면 바로 scheme over a ring의 정의와 비슷한 명제가 얻어진다.
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