스킴 (편집) (2) - 시드위키

== 예제 ==
우리는 [math(R)]이 임의의 가환환이라고 하고 [math(R[x_1,\cdots,x_n])]이 [math(R)]의 계수로 가지는 변수 [math(n)]개짜리 다항식들의 환이라고 하자. 그리고

[math(\Bbb{A}^n_{R}:=\text{Spec}\,R[x_1,\cdots,x_n])]

이라고 한다면 [math(\Bbb{A}^n_{R})]은 훌륭한 아핀 스킴이 되며 R이 대수적으로 닫힌 체라고 하면 이는 우리가 잘 아는 아핀 공간이 된다.

이제 조금 다르게 잡아서 사영공간을 만들어보자. [math(A)]를 graded ring이라고 하고 [math(\text{Proj}\,{A})]를 [math(A)]의 homogeneous ideal들의 모임이라고 하자. 그러면 이것은 스킴이 될 수 있음이 알려져있고 이제

[math(\Bbb{P}^n_{R}:=\text{Proj}\,R[x_1,\cdots,x_n])]

이라고 하면 이것은 사영공간이 된다.

우리는 이번에는 예제를 좀 특이하게 잡아서 [math(A)]를 discrete valuation ring이라고 하고 [math(\text{Spec}\,A)]를 생각해보자. 그러면 이것은 [math((0))]과 또 하나의 소 아이디얼로 이루어진 원소 두개짜리 스킴이 된다. 특히 [math(K)]가 [math(A)]의 quotient 체고 [math(A→K)]가 있을 때 이것은 [math(\text{Spec}\,K\to \text{Spec}\,A)]라는 사상을 만들고 이 사상의 image는 [math(\text{Spec}\,A)]에서 open이면서 dense가 된다. 스킴 theory에서는 이런 점을 generic point라고 하고 나머지 한 점. 그러니까 [math(A)]의 극대 아이디얼을 special point (또는 closed point)이라고 한다. generic point와 special point는 모든 스킴에 대해서 정의될 수 있으며 generic point는 open이면서 dense고 special point는 언제나 closed가 된다.

앞의 세 예제는 모두 아핀 스킴의 예제다. 하지만 우리는 아핀 스킴의 예제만 있는 것이 아니다. [math(x)]를 [math(R)]의 극대 아이디얼이라고 하고 [math(U=\Bbb{A}^1_{R}\setminus \{x\})]라고 하고 똑같은 [math(U)] 두 개를 gluring시키면 아핀 스킴이 아닌 스킴이 나오게 된다.

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[math(\Bbb{A}^n_{R}:=\text{Spec}\,R[x_1,\cdots,x_n])]

이라고 한다면 [math(\Bbb{A}^n_{R})]은 훌륭한 아핀 스킴이 되며 R이 대수적으로 닫힌 체라고 하면 이는 우리가 잘 아는 아핀 공간이 된다.

[math(\Bbb{P}^n_{R}:=\text{Proj}\,R[x_1,\cdots,x_n])]

이라고 하면 이것은 사영공간이 된다.

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