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연속체 농도
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89,inf
== 연속체 농도의 크기 == ZF만으로도 [math(\mathfrak{c}=2^{\aleph_0})]임을 보일 수 있다. [[선택공리]]를 가정하면, [math(\aleph_1\le 2^{\aleph_0})]임을 보일 수 있다. 그리고 선택공리를 가정하면 [math(\operatorname{cf}\mathfrak{c} > \omega)]임을 보일 수 있다. 그러나 그 확실한 크기는 ZFC 내에서는 결정 불가능하다. ZFC 위의 추가적인 가정이나 공리들은 때때로 연속체의 크기를 결정하기도 한다. 가령, 다음과 같은 예시들이 있다 : * [[연속체 가설]]은 연속체 농도가 [math(\aleph_1)]임을 주장한다. * V=L은 일반화된 연속체 가설을 이끌어낸다. 따라서 V=L이면 연속체 농도는 [math(\aleph_1)]이다. * 마틴의 극대는 [math(\mathfrak{c}=\aleph_2)]임을 이끌어낸다. 진강제법 공리 또한 [math(\mathfrak{c}=\aleph_2)]임을 이끌어낸다. * 실수 집합의 모든 부분집합에 대해 정의되는 측도가 존재한다면, [math(\mathfrak{c})]는 최초의 약도달 불가능한 기수보다 크거나 같다. 어떤 가정들은 연속체의 크기를 결정하지 못 하지만, 연속체 농도의 성질을 결정하기도 한다. 가령, 마틴의 공리는 연속체의 기수가 정칙기수임을 증명한다. 이스턴의 정리에 의하면, 비가산 [[공종도]]를 갖는 임의의 비가산 기수 [math(\kappa)]에 대해 [math(\mathfrak{c}=\kappa)]인 ZFC의 모형이 존재한다. [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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== 연속체 농도의 크기 == ZF만으로도 [math(\mathfrak{c}=2^{\aleph_0})]임을 보일 수 있다. [[선택공리]]를 가정하면, [math(\aleph_1\le 2^{\aleph_0})]임을 보일 수 있다. 그리고 선택공리를 가정하면 [math(\operatorname{cf}\mathfrak{c} > \omega)]임을 보일 수 있다. 그러나 그 확실한 크기는 ZFC 내에서는 결정 불가능하다. ZFC 위의 추가적인 가정이나 공리들은 때때로 연속체의 크기를 결정하기도 한다. 가령, 다음과 같은 예시들이 있다 : * [[연속체 가설]]은 연속체 농도가 [math(\aleph_1)]임을 주장한다. * V=L은 일반화된 연속체 가설을 이끌어낸다. 따라서 V=L이면 연속체 농도는 [math(\aleph_1)]이다. * 마틴의 극대는 [math(\mathfrak{c}=\aleph_2)]임을 이끌어낸다. 진강제법 공리 또한 [math(\mathfrak{c}=\aleph_2)]임을 이끌어낸다. * 실수 집합의 모든 부분집합에 대해 정의되는 측도가 존재한다면, [math(\mathfrak{c})]는 최초의 약도달 불가능한 기수보다 크거나 같다. 어떤 가정들은 연속체의 크기를 결정하지 못 하지만, 연속체 농도의 성질을 결정하기도 한다. 가령, 마틴의 공리는 연속체의 기수가 정칙기수임을 증명한다. 이스턴의 정리에 의하면, 비가산 [[공종도]]를 갖는 임의의 비가산 기수 [math(\kappa)]에 대해 [math(\mathfrak{c}=\kappa)]인 ZFC의 모형이 존재한다. [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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