연속체 농도

Cardinality of continuum

실수 집합의 농도를 말한다. \\mathfrak{c}로 표기한다.

목차

1. 연속체 농도의 크기

1. 연속체 농도의 크기 _{✎ ⊖}

ZF만으로도 \\mathfrak{c}=2^{\\aleph_0}임을 보일 수 있다. 선택공리를 가정하면, \\aleph_1\\le 2^{\\aleph_0}임을 보일 수 있다. 그리고 선택공리를 가정하면 \\operatorname{cf}\\mathfrak{c} > \\omega임을 보일 수 있다. 그러나 그 확실한 크기는 ZFC 내에서는 결정 불가능하다.

ZFC 위의 추가적인 가정이나 공리들은 때때로 연속체의 크기를 결정하기도 한다. 가령, 다음과 같은 예시들이 있다 :

연속체 가설은 연속체 농도가 \\aleph_1임을 주장한다.
V=L은 일반화된 연속체 가설을 이끌어낸다. 따라서 V=L이면 연속체 농도는 \\aleph_1이다.
마틴의 극대는 \\mathfrak{c}=\\aleph_2임을 이끌어낸다. 진강제법 공리 또한 \\mathfrak{c}=\\aleph_2임을 이끌어낸다.
실수 집합의 모든 부분집합에 대해 정의되는 측도가 존재한다면, \\mathfrak{c}는 최초의 약도달 불가능한 기수보다 크거나 같다.

어떤 가정들은 연속체의 크기를 결정하지 못 하지만, 연속체 농도의 성질을 결정하기도 한다. 가령, 마틴의 공리는 연속체의 기수가 정칙기수임을 증명한다.

이스턴의 정리에 의하면, 비가산 공종도를 갖는 임의의 비가산 기수 \\kappa에 대해 \\mathfrak{c}=\\kappa인 ZFC의 모형이 존재한다.

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1. 연속체 농도의 크기 ✎ ⊖

1. 연속체 농도의 크기 _{✎ ⊖}