케플러의 행성 운동 법칙 (편집) (1)

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== 증명 ==
뉴턴의 운동 방정식과 보편적인 중력의 법칙 [math(\Sigma \vec{F} = m \! \frac{{d}^{2} \vec{x}}{{d t}^{2}} \, , \, {\vec{F}}_{\text{G}} = - G \! \frac{{m}_{\text{s}} {m}_{\text{t}}}{{r}^{2}} \! \hat{\boldsymbol{r}})]을 이용하여 풀이한다. 만일 원천질량 [math({m}_{\text{s}})]에 의해 만들어진 중력장에 의해 시험질량 [math({m}_{\text{t}})]가 가속된다면 운동 방정식은 [math(\Sigma \vec{F} = {m}_{\text{t}} \! \frac{{d}^{2} \vec{x}}{{d t}^{2}} = - G \! \frac{{m}_{\text{s}} {m}_{\text{t}}}{{r}^{2}} \! \hat{\boldsymbol{r}})]이다.

이것을 다시 정리하면 [math(\frac{{d}^{2} \vec{x}}{{d t}^{2}} = - G \! \frac{{m}_{\text{s}}}{{r}^{2}} \! \hat{\boldsymbol{r}})]이 된다. 좌변을 극좌표에 대해서 풀면 [math(\frac{{d}^{2} \vec{x}}{{d t}^{2}} = \left ( \frac{{d}^{2} r}{{d t}^{2}} - r \! {\left ( \frac{d \theta}{d t} \right )}^{2} \right ) \hat{\boldsymbol{r}} + \left ( 2 \! \frac{d r}{d t} \! \frac{d \theta}{d t} + r \! \frac{{d}^{2} \theta}{{d t}^{2}} \right ) \hat{\boldsymbol{\theta}})]이 된다. 따라서 [math(r)] 성분과 [math(\theta)] 성분에 대해 나눠보면 [math(\frac{{d}^{2} r}{{d t}^{2}} - r \! {\left ( \frac{d \theta}{d t} \right )}^{2} = - G \! \frac{{m}_{\text{s}}}{{r}^{2}} \, , \, 2 \! \frac{d r}{d t} \! \frac{d \theta}{d t} + r \! \frac{{d}^{2} \theta}{{d t}^{2}} = 0)]이다. 이 식을 보면 힘은 오로지 [math(r)] 성분에만 관련이 있는데, 이러한 힘 중 보존력인 힘을 특별히 '''중심력(Central Force)'''이라고 부른다.

여기서 [math(\theta)] 성분에 대해 살펴보면 [math(\displaystyle \frac{1}{r} \! \frac{d}{d t} \! \left ( {r}^{2} \! \frac{d \theta}{d t} \right ) = 0)]과 동치임을 알 수 있다. 따라서 [math({r}^{2} \! \frac{d \theta}{d t} = \text{Const})]이다. 이 식이 의미하는 바는 두 가지라 할 수 있다. 먼저 극좌표에서 원점과 어떤 점 사이의 선분이 쓸고 지나가는 넓이가 [math(A = \displaystyle \frac{1}{2} \! \int_{\Theta} {r}^{2} \, d \theta)]라는 것을 고려하면 면적속도는 [math(\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} \! {r}^{2} \! \frac{d \theta}{d t} = \text{Const})]임을 알 수 있다. 이것이 바로 '''면적속도 일정의 법칙'''이다.

또 입자의 궤도각운동량이 [math({\vec{L}}_{\text{O}} = m {r}^{2} \! \displaystyle \frac{d \theta}{d t} \! \hat{\boldsymbol{n}} = \text{Const})]이므로 각운동량 보존의 법칙도 알려줌을 알 수 있다. 이제 [math(\sigma = \displaystyle {r}^{2} \! \frac{d \theta}{d t})]라고 하자. 그럼 이제 [math(r)] 성분을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math({r}^{2} \! \frac{{d}^{2} r}{{d t}^{2}} - \frac{{\sigma}^{2}}{r} = - G {m}_{\text{s}})] 이제 연쇄법칙을 쓰면 [math(\displaystyle \frac{d}{d t} = \frac{d \theta}{d t} \! \frac{d}{d \theta} = \frac{\sigma}{{r}^{2}} \! \frac{d}{d \theta})]로 나타낼 수 있으므로 [math(\frac{d}{d \theta} \! \left ( \frac{1}{{r}^{2}} \! \frac{d r}{d \theta} \right ) - \frac{1}{r} = - G \! \frac{{m}_{\text{s}}}{{\sigma}^{2}})]이다.

만약 [math(u = \displaystyle \frac{1}{r})]이라면 [math(\displaystyle \frac{d u}{d \theta} = - {r}^{2} \! \frac{d r}{d \theta})]가 되므로 [math(u = - \! \frac{{d}^{2} u}{{d \theta}^{2}} + G \! \frac{{m}_{\text{s}}}{{\sigma}^{2}})]이다.

이 미분방정식에 대한 풀이는 [math(u = G \! \frac{{m}_{\text{s}}}{{\sigma}^{2}} + \mathcal{C} \cos \theta)]이므로 [math(r = \frac{1}{G \! \displaystyle \frac{{m}_{\text{s}}}{{\sigma}^{2}} + \mathcal{C} \cos \theta} = \frac{\displaystyle \frac{{\sigma}^{2}}{G {m}_{\text{s}}}}{1 + \displaystyle \frac{{\sigma}^{2} \mathcal{C}}{G {m}_{\text{s}}} \cos \theta} = \frac{l}{1 + \varepsilon \cos \theta})]이다.

이 궤도가 의미하는 것은 행성은 이차곡선을 그리며 운동한다는 것인데[* 엄밀히 말해서 역제곱의 법칙을 따르는 모든 힘에 대하여 그 힘을 받는 물체가 그리는 궤도가 이차곡선이라는 것이다.], 행성의 역학적 에너지는 [math({E}_{\text{M}} = \frac{1}{2} \! {m}_{\text{t}} \! \left ( {\left ( \frac{d r}{d t} \right )}^{2} + {r}^{2} \! {\left ( \frac{d \theta}{d t} \right )}^{2} \right ) - G \! \frac{{m}_{\text{s}} {m}_{\text{t}}}{r} < 0)]이므로 반드시 [math({r}_{\text{max}})]와 [math({r}_{\text{min}})]이 있게 된다. 따라서 행성은 원 궤도 또는 타원 궤도를 그리지만 원 궤도일 확률은 0이므로 타원 궤도를 그리게 된다. 따라서 '''타원 궤도의 법칙'''을 만족한다. 앞에서 보면 극좌표 상에서 원점과 한 점을 잇는 선분이 쓸고 지나가는 넓이는 [math(A = \displaystyle \frac{1}{2} \! \int_{\Theta} {r}^{2} \, d \theta = \frac{1}{2} \! \int_{0}^{T} \sigma \, d t = \frac{\sigma}{2} \! T = \pi a b)]라는 점을 알 수 있다.

타원에서 긴반지름 [math(a)]는 [math({r}_{\text{max}})]와 [math({r}_{\text{min}})]의 산술평균이므로 [math(a = \frac{l}{1 + {\varepsilon}^{2}})]이고, 짧은반지름 [math(b)]는 [math({r}_{\text{max}} )]와 [math({r}_{\text{min}})]의 기하평균이므로 [math(b = \frac{l}{\sqrt{1 + {\varepsilon}^{2}}})]이다. 따라서 [math(b = \sqrt{al})]이므로 [math({T}^{2} = \frac{4 {\pi}^{2} l}{{\sigma}^{2}} \! {a}^{3} = \frac{4 {\pi}^{2}}{G {m}_{\text{s}}} \! {a}^{3} = K {a}^{3})]이다.

보기 좋게 [math(R = a)]라고 한다면 [math({T}^{2} = K {R}^{3})]이다. 이 등식은 주기의 제곱이 긴반지름의 세제곱에 비례한다는 것으로, '''조화의 법칙'''을 의미한다.

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