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Kepler's laws of planetary motion
독일의 천문학자 요하네스 케플러가 발표한 태양계의 행성을 포함한 행성의 운동에 대한 다음으로 이루어진 세 개의 물리학 법칙이다.
- 제1법칙 (타원 궤도의 법칙, 궤도의 법칙) : 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그리면서 공전한다.
- 제2법칙 (면적속도 일정의 법칙, 케플러 넓이 법칙) : 행성과 태양을 연결하는 가상적인 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다.
- 제3법칙 (조화의 법칙, 주기의 법칙) : 행성의 공전주기의 제곱은 궤도의 긴반지름의 세제곱에 비례한다.
1. 증명 ✎ ⊖
뉴턴의 운동 방정식과 보편적인 중력의 법칙 \\Sigma \\vec{F} = m \\! \\frac{{d}^{2} \\vec{x}}{{d t}^{2}} \\, , \\, {\\vec{F}}_{\\text{G}} = - G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}} {m}_{\\text{t}}}{{r}^{2}} \\! \\hat{\\boldsymbol{r}}을 이용하여 풀이한다. 만일 원천질량 {m}_{\\text{s}}에 의해 만들어진 중력장에 의해 시험질량 {m}_{\\text{t}}가 가속된다면 운동 방정식은 \\Sigma \\vec{F} = {m}_{\\text{t}} \\! \\frac{{d}^{2} \\vec{x}}{{d t}^{2}} = - G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}} {m}_{\\text{t}}}{{r}^{2}} \\! \\hat{\\boldsymbol{r}}이다.
이것을 다시 정리하면 \\frac{{d}^{2} \\vec{x}}{{d t}^{2}} = - G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}}}{{r}^{2}} \\! \\hat{\\boldsymbol{r}}이 된다. 좌변을 극좌표에 대해서 풀면 \\frac{{d}^{2} \\vec{x}}{{d t}^{2}} = \\left ( \\frac{{d}^{2} r}{{d t}^{2}} - r \\! {\\left ( \\frac{d \\theta}{d t} \\right )}^{2} \\right ) \\hat{\\boldsymbol{r}} + \\left ( 2 \\! \\frac{d r}{d t} \\! \\frac{d \\theta}{d t} + r \\! \\frac{{d}^{2} \\theta}{{d t}^{2}} \\right ) \\hat{\\boldsymbol{\\theta}}이 된다. 따라서 r 성분과 \\theta 성분에 대해 나눠보면 \\frac{{d}^{2} r}{{d t}^{2}} - r \\! {\\left ( \\frac{d \\theta}{d t} \\right )}^{2} = - G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}}}{{r}^{2}} \\, , \\, 2 \\! \\frac{d r}{d t} \\! \\frac{d \\theta}{d t} + r \\! \\frac{{d}^{2} \\theta}{{d t}^{2}} = 0이다. 이 식을 보면 힘은 오로지 r 성분에만 관련이 있는데, 이러한 힘 중 보존력인 힘을 특별히 중심력(Central Force)이라고 부른다.
여기서 \\theta 성분에 대해 살펴보면 \\displaystyle \\frac{1}{r} \\! \\frac{d}{d t} \\! \\left ( {r}^{2} \\! \\frac{d \\theta}{d t} \\right ) = 0과 동치임을 알 수 있다. 따라서 {r}^{2} \\! \\frac{d \\theta}{d t} = \\text{Const}이다. 이 식이 의미하는 바는 두 가지라 할 수 있다. 먼저 극좌표에서 원점과 어떤 점 사이의 선분이 쓸고 지나가는 넓이가 A = \\displaystyle \\frac{1}{2} \\! \\int_{\\Theta} {r}^{2} \\, d \\theta라는 것을 고려하면 면적속도는 \\frac{d A}{d t} = \\frac{1}{2} \\! {r}^{2} \\! \\frac{d \\theta}{d t} = \\text{Const}임을 알 수 있다. 이것이 바로 면적속도 일정의 법칙이다.
또 입자의 궤도각운동량이 {\\vec{L}}_{\\text{O}} = m {r}^{2} \\! \\displaystyle \\frac{d \\theta}{d t} \\! \\hat{\\boldsymbol{n}} = \\text{Const}이므로 각운동량 보존의 법칙도 알려줌을 알 수 있다. 이제 \\sigma = \\displaystyle {r}^{2} \\! \\frac{d \\theta}{d t}라고 하자. 그럼 이제 r 성분을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
{r}^{2} \\! \\frac{{d}^{2} r}{{d t}^{2}} - \\frac{{\\sigma}^{2}}{r} = - G {m}_{\\text{s}} 이제 연쇄법칙을 쓰면 \\displaystyle \\frac{d}{d t} = \\frac{d \\theta}{d t} \\! \\frac{d}{d \\theta} = \\frac{\\sigma}{{r}^{2}} \\! \\frac{d}{d \\theta}로 나타낼 수 있으므로 \\frac{d}{d \\theta} \\! \\left ( \\frac{1}{{r}^{2}} \\! \\frac{d r}{d \\theta} \\right ) - \\frac{1}{r} = - G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}}}{{\\sigma}^{2}}이다.
만약 u = \\displaystyle \\frac{1}{r}이라면 \\displaystyle \\frac{d u}{d \\theta} = - {r}^{2} \\! \\frac{d r}{d \\theta}가 되므로 u = - \\! \\frac{{d}^{2} u}{{d \\theta}^{2}} + G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}}}{{\\sigma}^{2}}이다.
이 미분방정식에 대한 풀이는 u = G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}}}{{\\sigma}^{2}} + \\mathcal{C} \\cos \\theta이므로 r = \\frac{1}{G \\! \\displaystyle \\frac{{m}_{\\text{s}}}{{\\sigma}^{2}} + \\mathcal{C} \\cos \\theta} = \\frac{\\displaystyle \\frac{{\\sigma}^{2}}{G {m}_{\\text{s}}}}{1 + \\displaystyle \\frac{{\\sigma}^{2} \\mathcal{C}}{G {m}_{\\text{s}}} \\cos \\theta} = \\frac{l}{1 + \\varepsilon \\cos \\theta}이다.
이 궤도가 의미하는 것은 행성은 이차곡선을 그리며 운동한다는 것인데(1), 행성의 역학적 에너지는 {E}_{\\text{M}} = \\frac{1}{2} \\! {m}_{\\text{t}} \\! \\left ( {\\left ( \\frac{d r}{d t} \\right )}^{2} + {r}^{2} \\! {\\left ( \\frac{d \\theta}{d t} \\right )}^{2} \\right ) - G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}} {m}_{\\text{t}}}{r} < 0이므로 반드시 {r}_{\\text{max}}와 {r}_{\\text{min}}이 있게 된다. 따라서 행성은 원 궤도 또는 타원 궤도를 그리지만 원 궤도일 확률은 0이므로 타원 궤도를 그리게 된다. 따라서 타원 궤도의 법칙을 만족한다. 앞에서 보면 극좌표 상에서 원점과 한 점을 잇는 선분이 쓸고 지나가는 넓이는 A = \\displaystyle \\frac{1}{2} \\! \\int_{\\Theta} {r}^{2} \\, d \\theta = \\frac{1}{2} \\! \\int_{0}^{T} \\sigma \\, d t = \\frac{\\sigma}{2} \\! T = \\pi a b라는 점을 알 수 있다.
타원에서 긴반지름 a는 {r}_{\\text{max}}와 {r}_{\\text{min}}의 산술평균이므로 a = \\frac{l}{1 + {\\varepsilon}^{2}}이고, 짧은반지름 b는 {r}_{\\text{max}} 와 {r}_{\\text{min}}의 기하평균이므로 b = \\frac{l}{\\sqrt{1 + {\\varepsilon}^{2}}}이다. 따라서 b = \\sqrt{al}이므로 {T}^{2} = \\frac{4 {\\pi}^{2} l}{{\\sigma}^{2}} \\! {a}^{3} = \\frac{4 {\\pi}^{2}}{G {m}_{\\text{s}}} \\! {a}^{3} = K {a}^{3}이다.
보기 좋게 R = a라고 한다면 {T}^{2} = K {R}^{3}이다. 이 등식은 주기의 제곱이 긴반지름의 세제곱에 비례한다는 것으로, 조화의 법칙을 의미한다.
이것을 다시 정리하면 \\frac{{d}^{2} \\vec{x}}{{d t}^{2}} = - G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}}}{{r}^{2}} \\! \\hat{\\boldsymbol{r}}이 된다. 좌변을 극좌표에 대해서 풀면 \\frac{{d}^{2} \\vec{x}}{{d t}^{2}} = \\left ( \\frac{{d}^{2} r}{{d t}^{2}} - r \\! {\\left ( \\frac{d \\theta}{d t} \\right )}^{2} \\right ) \\hat{\\boldsymbol{r}} + \\left ( 2 \\! \\frac{d r}{d t} \\! \\frac{d \\theta}{d t} + r \\! \\frac{{d}^{2} \\theta}{{d t}^{2}} \\right ) \\hat{\\boldsymbol{\\theta}}이 된다. 따라서 r 성분과 \\theta 성분에 대해 나눠보면 \\frac{{d}^{2} r}{{d t}^{2}} - r \\! {\\left ( \\frac{d \\theta}{d t} \\right )}^{2} = - G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}}}{{r}^{2}} \\, , \\, 2 \\! \\frac{d r}{d t} \\! \\frac{d \\theta}{d t} + r \\! \\frac{{d}^{2} \\theta}{{d t}^{2}} = 0이다. 이 식을 보면 힘은 오로지 r 성분에만 관련이 있는데, 이러한 힘 중 보존력인 힘을 특별히 중심력(Central Force)이라고 부른다.
여기서 \\theta 성분에 대해 살펴보면 \\displaystyle \\frac{1}{r} \\! \\frac{d}{d t} \\! \\left ( {r}^{2} \\! \\frac{d \\theta}{d t} \\right ) = 0과 동치임을 알 수 있다. 따라서 {r}^{2} \\! \\frac{d \\theta}{d t} = \\text{Const}이다. 이 식이 의미하는 바는 두 가지라 할 수 있다. 먼저 극좌표에서 원점과 어떤 점 사이의 선분이 쓸고 지나가는 넓이가 A = \\displaystyle \\frac{1}{2} \\! \\int_{\\Theta} {r}^{2} \\, d \\theta라는 것을 고려하면 면적속도는 \\frac{d A}{d t} = \\frac{1}{2} \\! {r}^{2} \\! \\frac{d \\theta}{d t} = \\text{Const}임을 알 수 있다. 이것이 바로 면적속도 일정의 법칙이다.
또 입자의 궤도각운동량이 {\\vec{L}}_{\\text{O}} = m {r}^{2} \\! \\displaystyle \\frac{d \\theta}{d t} \\! \\hat{\\boldsymbol{n}} = \\text{Const}이므로 각운동량 보존의 법칙도 알려줌을 알 수 있다. 이제 \\sigma = \\displaystyle {r}^{2} \\! \\frac{d \\theta}{d t}라고 하자. 그럼 이제 r 성분을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
{r}^{2} \\! \\frac{{d}^{2} r}{{d t}^{2}} - \\frac{{\\sigma}^{2}}{r} = - G {m}_{\\text{s}} 이제 연쇄법칙을 쓰면 \\displaystyle \\frac{d}{d t} = \\frac{d \\theta}{d t} \\! \\frac{d}{d \\theta} = \\frac{\\sigma}{{r}^{2}} \\! \\frac{d}{d \\theta}로 나타낼 수 있으므로 \\frac{d}{d \\theta} \\! \\left ( \\frac{1}{{r}^{2}} \\! \\frac{d r}{d \\theta} \\right ) - \\frac{1}{r} = - G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}}}{{\\sigma}^{2}}이다.
만약 u = \\displaystyle \\frac{1}{r}이라면 \\displaystyle \\frac{d u}{d \\theta} = - {r}^{2} \\! \\frac{d r}{d \\theta}가 되므로 u = - \\! \\frac{{d}^{2} u}{{d \\theta}^{2}} + G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}}}{{\\sigma}^{2}}이다.
이 미분방정식에 대한 풀이는 u = G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}}}{{\\sigma}^{2}} + \\mathcal{C} \\cos \\theta이므로 r = \\frac{1}{G \\! \\displaystyle \\frac{{m}_{\\text{s}}}{{\\sigma}^{2}} + \\mathcal{C} \\cos \\theta} = \\frac{\\displaystyle \\frac{{\\sigma}^{2}}{G {m}_{\\text{s}}}}{1 + \\displaystyle \\frac{{\\sigma}^{2} \\mathcal{C}}{G {m}_{\\text{s}}} \\cos \\theta} = \\frac{l}{1 + \\varepsilon \\cos \\theta}이다.
이 궤도가 의미하는 것은 행성은 이차곡선을 그리며 운동한다는 것인데(1), 행성의 역학적 에너지는 {E}_{\\text{M}} = \\frac{1}{2} \\! {m}_{\\text{t}} \\! \\left ( {\\left ( \\frac{d r}{d t} \\right )}^{2} + {r}^{2} \\! {\\left ( \\frac{d \\theta}{d t} \\right )}^{2} \\right ) - G \\! \\frac{{m}_{\\text{s}} {m}_{\\text{t}}}{r} < 0이므로 반드시 {r}_{\\text{max}}와 {r}_{\\text{min}}이 있게 된다. 따라서 행성은 원 궤도 또는 타원 궤도를 그리지만 원 궤도일 확률은 0이므로 타원 궤도를 그리게 된다. 따라서 타원 궤도의 법칙을 만족한다. 앞에서 보면 극좌표 상에서 원점과 한 점을 잇는 선분이 쓸고 지나가는 넓이는 A = \\displaystyle \\frac{1}{2} \\! \\int_{\\Theta} {r}^{2} \\, d \\theta = \\frac{1}{2} \\! \\int_{0}^{T} \\sigma \\, d t = \\frac{\\sigma}{2} \\! T = \\pi a b라는 점을 알 수 있다.
타원에서 긴반지름 a는 {r}_{\\text{max}}와 {r}_{\\text{min}}의 산술평균이므로 a = \\frac{l}{1 + {\\varepsilon}^{2}}이고, 짧은반지름 b는 {r}_{\\text{max}} 와 {r}_{\\text{min}}의 기하평균이므로 b = \\frac{l}{\\sqrt{1 + {\\varepsilon}^{2}}}이다. 따라서 b = \\sqrt{al}이므로 {T}^{2} = \\frac{4 {\\pi}^{2} l}{{\\sigma}^{2}} \\! {a}^{3} = \\frac{4 {\\pi}^{2}}{G {m}_{\\text{s}}} \\! {a}^{3} = K {a}^{3}이다.
보기 좋게 R = a라고 한다면 {T}^{2} = K {R}^{3}이다. 이 등식은 주기의 제곱이 긴반지름의 세제곱에 비례한다는 것으로, 조화의 법칙을 의미한다.
2. 영상 ✎ ⊖
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(1) 엄밀히 말해서 역제곱의 법칙을 따르는 모든 힘에 대하여 그 힘을 받는 물체가 그리는 궤도가 이차곡선이라는 것이다.
