다항함수 보간법 (편집) (2)

(편집 필터 규칙)

== 보간 다항식 구성 ==
[math((n-1))]차 이하의 다항식의 벡터공간 [math(P)]의 기저 [math(\mathcal{B}=\{p_1,p_2,\cdots,p_n\})]에 대해, 임의의 [math(p\in P)]를

[math(p(x)=a_1p_1(x)+a_2p_2(x)+\cdots+a_np_n(x))]

로 나타낼 수 있다. 이때, [math(a_1,\cdots,a_n)]은 상수이다. 이때 함수 [math(f)]와 서로 다른 [math(x_1,\cdots, x_n\in \operatorname{dom} f)]에 대해 집합 [math(\{(x_1,f(x_1)), \cdots, (x_n,f(x_n))\})]이 주어지면,

[math(\begin{array}{lcl}a_1p_1(x_1)+a_2p_2(x_1)+a_3p_3(x_1)+\cdots+a_np_n(x_1)&=&f(x_1)\\a_1p_1(x_2)+a_2p_2(x_2)+a_3p_3(x_2)+\cdots+a_np_n(x_2)&=&f(x_2)\\a_1p_1(x_3)+a_2p_2(x_3)+a_3p_3(x_3)+\cdots+a_np_n(x_3)&=&f(x_3)\\&\vdots&\\a_1p_1(x_n)+a_2p_2(x_n)+a_3p_3(x_n)+\cdots+a_np_n(x_n)&=&f(x_n)\end{array})]

을 만족하는 [math(p)]를 구할 수 있다. 이것을 행렬을 이용해 나타내면

[math(\begin{bmatrix}p_1(x_1) & p_2(x_1) & p_3(x_1) & \cdots & p_n(x_1) \\ p_1(x_2) & p_2(x_2) & p_3(x_2) & \cdots & p_n(x_2) \\ p_1(x_3) & p_2(x_3) & p_3(x_3) & \cdots & p_n(x_3) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_1(x_n) & p_2(x_n) & p_3(x_n) & \cdots & p_n(x_n) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f(x_1) \\ f(x_2) \\ f(x_3) \\ \vdots \\ f(x_n) \end{bmatrix})]

이다.

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== 보간 다항식 구성 ==
[math((n-1))]차 이하의 다항식의 벡터공간 [math(P)]의 기저 [math(\mathcal{B}=\{p_1,p_2,\cdots,p_n\})]에 대해, 임의의 [math(p\in P)]를

[math(p(x)=a_1p_1(x)+a_2p_2(x)+\cdots+a_np_n(x))]

을 만족하는 [math(p)]를 구할 수 있다. 이것을 행렬을 이용해 나타내면

이다.

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