부분군 (편집) (2) - 시드위키

(편집 필터 규칙)

== 성질 ==
* [math(G)]가 [[아벨 군]]이면 [math(G)]의 부분군도 아벨 군이다.
* [math(G)]의 부분집합을 생성원으로 갖는 군은 [math(G)]의 부분군이다.
* 군 [math(G)]의 부분군 [math(H)]에 대하여 [math(|G:H|=2)]이면 [math(H)]는 [math(G)]의 정규부분군이다.

[math((a=gh)∈gH (g∈G−H,h∈H))]에서 [math(ah^{−1}=g∈H)]의 모순이 발생하므로 [math(gH∩H=∅)]이다. 그러므로 [math(G=Hg∪H=H∪gH)] 이어서 [math(H⊲G)]이다.

[math((H,⋅))]가 [math((G,⋅))]의 부분군이면 다음이 성립한다:

* [math(HH=H)]이고[math(H^{−1}=H)]이다.
임의의 [math(a∈H)]에 대해 [math(a⋅e∈HH)]이고 [math((a^{−1})^{−1}∈H^{−1})] 이기 때문에 성립한다. 이는 [math(H)]가 [math(G)]의 부분군일 조건과 동치이기도 하다.

* [math(I)]가 [math(G)]의 부분군일 때, [math(H∩I)]도 [math(G)]의 부분군이다.
[math(a⋅b∈H)]이고 [math(a⋅b∈I(a,b∈H∩I))] 이므로 [math(a⋅b∈H∩I)] 이고 같은 방법으로 [math(a^{−1}∈H∩I)] 이므로 성립한다.

* [math(I)]가 [math(G)]의 부분군일 때, [math(HI)]가 [math(G)]의 부분군이면 [math(HI=IH)]이다.
[math((HI)^{−1}=IH)] 이므로 성립한다. 이 명제의 역도 [math(HI=IH)]이면 [math((HI)(HI)^{−1}=H(IH)=(HH)I=HI)]이므로 성립한다.

* [math(I)]와 [math(J)]가 [math(G)]의 부분군일 때, [math(HI=IH)]이고 [math(I⊆J)]이면 [math(HI∩J=(H∩J)I)] 이다.
[math((H∩J)I⊆HI)]이므로 [math((H∩J)I⊆J)]이고, [math((a=h⋅i)∈HI∩J (h∈H,i∈I))]에서 [math(h=a⋅i^{−1}∈H∩J)]이므로 성립한다.

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(↪️) (💎) (🛠️) (추가)

[math((a=gh)∈gH (g∈G−H,h∈H))]에서 [math(ah^{−1}=g∈H)]의 모순이 발생하므로 [math(gH∩H=∅)]이다. 그러므로 [math(G=Hg∪H=H∪gH)] 이어서 [math(H⊲G)]이다.

[math((H,⋅))]가 [math((G,⋅))]의 부분군이면 다음이 성립한다:

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