삼투 (편집) (2) - 시드위키

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== 삼투압 ==
삼투가 일어날 때 반투과성 막이 받는 압력을 삼투압이라고 한다. 이 압력은 삼투현상이 일어나지 못하게 하고자 할 때 알짜흐름이 0이 되도록 하는 압력으로 정의한다. 즉, 고농도 용액에서 삼투압만큼의 압력을 가하면 흐름이 생겨나지 않는다. 온도가 [math( T )]인 환경에서 용액과 용매가 반투과성 막을 경계로 나뉘어 있다고 가정하자. 이때 각 액체의 압력이 [math( {P}_{\text{sol}} )], [math( {P}_{\text{solv}} )]라고 한다면 각각의 화학퍼텐셜은 [math( {\mu}^{\circ} (T , {P}_{\text{sol}}) )], [math( {\mu}^{\circ} (T , {P}_{\text{solv}}) )]이다. 이때, 두 화학퍼텐셜은

[math( {\mu}^{\circ} (T , {P}_{\text{solv}}) = {\mu}^{\circ} (T , {P}_{\text{sol}}) + R T \ln {x}_{\text{solv}} = {\mu}^{\circ} (T , {P}_{\text{sol}}) + R T \ln (1 - {x}_{\text{solu}}) )]

의 관계를 가진다. 용질의 몰 수가 용매의 몰 수에 비해 매우 작다고 가정할 경우([math( {n}_{\text{solu}} \ll {n}_{\text{solv}} )]), 용질의 몰분율 [math( {x}_{\text{solu}} = {{n}_{\text{solu}}} / ({n}_{\text{solu}} + {n}_{\text{solv}}) \simeq {{n}_{\text{solu}}} / {{n}_{\text{solv}}} )]가 된다. 또한 여기서 매클로린 급수를 이용하여 [math( \ln )]을 풀면 [math( \ln (1 - {x}_{\text{solu}}) = - {x}_{\text{solu}} + O \left ( {{x}_{\text{solu}}}^{2} \right ) \simeq -{x}_{\text{solu}} )]가 된다. 따라서 [math( {\mu}^{\circ} (T , {P}_{\text{solv}}) = {\mu}^{\circ} (T , {P}_{\text{sol}}) - \frac{{n}_{\text{solu}}}{{n}_{\text{solv}}} \! {R T} )]이다.

만약 두 액체의 압력 차이가 작다면 [math( {\mu}^{\circ} (T , {P}_{\text{sol}}) \approx {\mu}^{\circ} (T , {P}_{\text{solv}}) + ({P}_{\text{sol}} - {P}_{\text{solv}}) \! \frac{\partial}{\partial P} \! {\mu}^{\circ} (T , P) )]이라고 할 수 있다. 이것을 다시 대입하면 [math(  ({P}_{\text{sol}} - {P}_{\text{solv}}) \! \frac{\partial}{\partial P} \! {\mu}^{\circ} (T , P) = \frac{{n}_{\text{solu}}}{{n}_{\text{solv}}} \! {R T} )]이 된다. 열역학에서 순수한 물질의 화학퍼텐셜은 몰당 깁스자유에너지 [math( {G} / {n} )]이다.[* 물리학에서는 몰 대신 입자 수를 사용함.] 또한 고정된 [math( T )]와 [math( n )]에 대하여 [math( {\partial G} / {\partial P} = V )]이므로 [math( \frac{\partial}{\partial P} \! {\mu}^{\circ} (T , P) = \frac{V}{n} )]이다. 여기서 우리는 용액에 대해서 기술하고 있으므로 [math( V = {V}_{\text{sol}} )]이고 [math( n = {n}_{\text{solv}} )]이다.

따라서 이것을 대입하면 [math( {P}_{\text{osm}} = {P}_{\text{sol}} - {P}_{\text{solv}} = \frac{{n}_{\text{solu}}}{{V}_{\text{sol}}} \! {R T} = C R T )]>이다. 여기서 [math( {P}_{\text{osm}} )]은 삼투압이고 삼투압은 물질의 몰 농도 [math( C )]에 비례함을 알 수 있다.

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[math( {\mu}^{\circ} (T , {P}_{\text{solv}}) = {\mu}^{\circ} (T , {P}_{\text{sol}}) + R T \ln {x}_{\text{solv}} = {\mu}^{\circ} (T , {P}_{\text{sol}}) + R T \ln (1 - {x}_{\text{solu}}) )]

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