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오일러 합 공식
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(편집 필터 규칙)
276,1340
== 증명 == 우선 각 [math(n)]에 대해 다음이 성립한다. >[math(\displaystyle \int_{n-1}^{n} [t]f’(t)\ dt = \int_{n-1}^{n} (n-1)f’(t)\ dt = (n-1)(f(n)-f(n-1)) )] 따라서 임의의 [math(y<x)]에 대해 >[math(\displaystyle \int_{[y]}^{[x]} [t]f’(t)\ dt \\= \displaystyle \sum_{[y]+1 \leq n \leq [x]} (n-1)(f(n)-f(n-1)) \\= \displaystyle \sum_{[y]+1 \leq n \leq [x]} (nf(n)-(n-1)f(n-1)) - \sum_{[y]+1 \leq n \leq [x]} f(n) \\ \displaystyle = [x]f([x])-[y]f([y]) - \sum_{y < n \leq x} f(n) )] 이다. 그러므로 >[math(\displaystyle \sum_{y < n \leq x} f(n) = -\int_{[y]}^{[x]} [t]f’(t)\ dt +[x]f([x])+[y]f([y]) \\= \displaystyle -(\int_{y}^{x} [t]f’(t)\ dt - [x](f(x)-f([x])) + [y](f(y)-f([y])))+ [x]f([x])+[y]f([y]) \\= \displaystyle -\int_{y}^{x} [t]f’(t)\ dt +[x]f(x)-[y]f(y))] 그런데 여기서 >[math(\displaystyle \int f(t)\ dt = tf(t) - \int t\ df(t) = \int tf’(t)\ dt\\ \displaystyle \implies \int_{y}^{x} f(t)\ dt = xf(x)-yf(y) - \int_{y}^{x} tf’(t)\ dt )] 이므로 따라서 >[math(\displaystyle \therefore \sum_{y<n \leq x} f(n) = \int_{y}^{x} f(t)\ dt + \int_{y}^{x} (t-[t])f’(t)\ dt + f(x)([x]-x) – f(y)([y]-y) )]
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== 증명 == 우선 각 [math(n)]에 대해 다음이 성립한다. >[math(\displaystyle \int_{n-1}^{n} [t]f’(t)\ dt = \int_{n-1}^{n} (n-1)f’(t)\ dt = (n-1)(f(n)-f(n-1)) )] 따라서 임의의 [math(y<x)]에 대해 >[math(\displaystyle \int_{[y]}^{[x]} [t]f’(t)\ dt \\= \displaystyle \sum_{[y]+1 \leq n \leq [x]} (n-1)(f(n)-f(n-1)) \\= \displaystyle \sum_{[y]+1 \leq n \leq [x]} (nf(n)-(n-1)f(n-1)) - \sum_{[y]+1 \leq n \leq [x]} f(n) \\ \displaystyle = [x]f([x])-[y]f([y]) - \sum_{y < n \leq x} f(n) )] 이다. 그러므로 >[math(\displaystyle \sum_{y < n \leq x} f(n) = -\int_{[y]}^{[x]} [t]f’(t)\ dt +[x]f([x])+[y]f([y]) \\= \displaystyle -(\int_{y}^{x} [t]f’(t)\ dt - [x](f(x)-f([x])) + [y](f(y)-f([y])))+ [x]f([x])+[y]f([y]) \\= \displaystyle -\int_{y}^{x} [t]f’(t)\ dt +[x]f(x)-[y]f(y))] 그런데 여기서 >[math(\displaystyle \int f(t)\ dt = tf(t) - \int t\ df(t) = \int tf’(t)\ dt\\ \displaystyle \implies \int_{y}^{x} f(t)\ dt = xf(x)-yf(y) - \int_{y}^{x} tf’(t)\ dt )] 이므로 따라서 >[math(\displaystyle \therefore \sum_{y<n \leq x} f(n) = \int_{y}^{x} f(t)\ dt + \int_{y}^{x} (t-[t])f’(t)\ dt + f(x)([x]-x) – f(y)([y]-y) )]
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