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Euler's summation formula
해석적 수론에서 오차항을 구하는 데 쓰이는 공식으로, 아벨의 합 공식의 특수한 경우이다.
1. 진술 ✎ ⊖
f가 [y,x]에서 연속한 도함수를 가지면, 다음이 성립한다.
\\sum_{y<n \\leq x}f(n) = \\int_{y}^{x} f(t)\\ dt + \\int_{y}^{x} (t-[t])f’(t)\\ dt + f(x)([x]-x) – f(y)([y]-y)
2. 증명 ✎ ⊖
우선 각 n에 대해 다음이 성립한다.
따라서 임의의 y<x에 대해
이다. 그러므로
그런데 여기서
이므로 따라서
\\displaystyle \\int_{n-1}^{n} [t]f’(t)\\ dt = \\int_{n-1}^{n} (n-1)f’(t)\\ dt = (n-1)(f(n)-f(n-1))
따라서 임의의 y<x에 대해
\\displaystyle \\int_{[y]}^{[x]} [t]f’(t)\\ dt \\\\= \\displaystyle \\sum_{[y]+1 \\leq n \\leq [x]} (n-1)(f(n)-f(n-1)) \\\\= \\displaystyle \\sum_{[y]+1 \\leq n \\leq [x]} (nf(n)-(n-1)f(n-1)) - \\sum_{[y]+1 \\leq n \\leq [x]} f(n) \\\\ \\displaystyle = [x]f([x])-[y]f([y]) - \\sum_{y < n \\leq x} f(n)
이다. 그러므로
\\displaystyle \\sum_{y < n \\leq x} f(n) = -\\int_{[y]}^{[x]} [t]f’(t)\\ dt +[x]f([x])+[y]f([y]) \\\\= \\displaystyle -(\\int_{y}^{x} [t]f’(t)\\ dt - [x](f(x)-f([x])) + [y](f(y)-f([y])))+ [x]f([x])+[y]f([y]) \\\\= \\displaystyle -\\int_{y}^{x} [t]f’(t)\\ dt +[x]f(x)-[y]f(y)
그런데 여기서
\\displaystyle \\int f(t)\\ dt = tf(t) - \\int t\\ df(t) = \\int tf’(t)\\ dt\\\\ \\displaystyle \\implies \\int_{y}^{x} f(t)\\ dt = xf(x)-yf(y) - \\int_{y}^{x} tf’(t)\\ dt
이므로 따라서
\\displaystyle \\therefore \\sum_{y<n \\leq x} f(n) = \\int_{y}^{x} f(t)\\ dt + \\int_{y}^{x} (t-[t])f’(t)\\ dt + f(x)([x]-x) – f(y)([y]-y)
2.1. 스틸체스 적분을 이용한 증명 ✎ ⊖
우선 다음 공식이 성립함에 유의하자.
여기서 \\alpha(t)=\\lfloor t\\rfloor으로 두면 좌변은
와 같아지고 따라서 다음을 얻는다.
그리고 부분적분을 이용하면 다음 공식을 얻을 수 있다.
(1)의 양변에 (2)를 더하면 원하는 결과를 얻는다.
\\int_y^x f(t)d\\alpha(t) = \\left. f(t)\\alpha(t)\\right|_y^x -\\int_y^x f'(t)\\alpha(t)dt
여기서 \\alpha(t)=\\lfloor t\\rfloor으로 두면 좌변은
\\int_y^x f(t)d\\alpha(t) =\\sum_{y<t\\le x} f(t)
와 같아지고 따라서 다음을 얻는다.
\\sum_{y<t\\le x} f(t) = \\left. f(t)\\lfloor t\\rfloor\\right|_y^x -\\int_y^x f'(t)\\lfloor t\\rfloor dt \\qquad \\cdots\\cdots\\cdots \\qquad (1)
그리고 부분적분을 이용하면 다음 공식을 얻을 수 있다.
0=\\int_y^xf(t)dt -\\left. tf(t)\\right|_y^x \\int_y^x f'(t) t dt \\qquad \\cdots\\cdots\\cdots \\qquad (2)
(1)의 양변에 (2)를 더하면 원하는 결과를 얻는다.
3. 참고 문헌 ✎ ⊖
- Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3.
