반데르발스 상태 방정식 (편집) (3)

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== 임계점과 환산 변수 ==
진동하지 않는 최소의 온도 [math(T_c)]를 임계 온도, 그 때의 압력 [math(p_c)]과 몰 부피 [math(V_c)]를 각각 임계 압력, 임계 몰 부피라 하고, 이를 통틀어 임계 상수, 그 점을 임계점이라 한다. 반데르발스 상태 방정식이 나타내는 곡면을 온도 축에 수직이 되는 평면으로 자르면, 즉 온도를 고정하면 압력은 몰 부피에 대한 함수가 되고, 이 중 임계점을 지나는 그래프는 임계점이 변곡점이 되므로 그 점에서 [math(V_m)]으로의 미분 계수, 이계 미분 계수가 모두 0이 된다. 즉,

* <math>\frac{\mathrm dp}{\mathrm dV_m} = -\frac{RT}{(V_m -b)^2} + \frac {2a}{{V_m}^3} = 0</math>
* <math>\frac{\mathrm d^2p}{\mathrm d{V_m}^2} = \frac{2RT}{(V_m -b)^3} - \frac {6a}{{V_m}^4} = 0</math>

이다. 이 둘을 연립하여 풀면 [math(2V_m = 3(V_m - b), V_m = 3b)]가 되고, 이를 위 두 식에 대입하여 [math(p_c)]와 [math(T_c)]를 구하면 다음과 같다:
><math>p_c = \frac{a}{27b^2}, \quad T_c = \frac{8a}{27Rb}.</math>
즉 임계 압축 인자는 [math(Z_c = \frac{p_c V_c}{RT_c} = \frac 3 8)]임을 알 수 있다. 실제로는 이보다 작은 값이지만, 거의 일정하다. 
또한 환산 변수 [math(X_r)]를 실제 변수 [math(X)]를 임계 상수 [math(X_c)]로 나눈 값으로 정의하여 반데르발스 상태 방정식에 대입하면,
><math>p_\mathrm r = \frac{8T_\mathrm r}{3 V_\mathrm r - 1} - \frac{3}{{V_\mathrm r}^2}</math>
이다. 이 식은 원래 식과 형태는 같지만, 반데르발스 계수가 사라져 있어 모든 기체에 대해서 같은 결과가 나타난다.

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