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619,1406
===== 증명 ===== [math(\deg\ f=0)]인 경우는 자명하다. 이제 [math(\deg\ f=n-1)]일 때 성립함을 가정하고 [math(\deg\ f=n-1)]인 경우에 증명을 하면 된다. [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해가 존재하지 않는다면 증명할 것이 없다. [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해 [math(a)]가 존재함을 가정하면 다항식의 나눗셈정리에 의해 [math(f(x)=(x-a)g(x)+r\ (g(x) \in \mathbb{Z}[x],\ r \in \mathbb{Z}))]인 [math(g(x),r)]이 존재한다. [math(x)]에 [math(a)]를 대입하고 양변에 [math(\bmod p)]를 취하면 [math(r \equiv f(a) \equiv 0\ \pmod{p})]를 얻으므로 [math(f(x) \equiv (x-a)g(x)\ \pmod{p})]이다. 따라서 [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p})]와 [math((x-a)g(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해집합은 동일하다. [math(\deg\ g=n-1)]임은 자명하므로 [math((x-a)g(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해는 [math(n)]개 이하이다.[* [math(g(x))]의 계수 중 [math(p)]의 배수가 아닌 것이 있음은 자명합니다.] 그러므로 [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해의 개수 또한 [math(n)]개 이하이다. 이로써 증명이 끝난다.
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===== 증명 ===== [math(\deg\ f=0)]인 경우는 자명하다. 이제 [math(\deg\ f=n-1)]일 때 성립함을 가정하고 [math(\deg\ f=n-1)]인 경우에 증명을 하면 된다. [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해가 존재하지 않는다면 증명할 것이 없다. [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해 [math(a)]가 존재함을 가정하면 다항식의 나눗셈정리에 의해 [math(f(x)=(x-a)g(x)+r\ (g(x) \in \mathbb{Z}[x],\ r \in \mathbb{Z}))]인 [math(g(x),r)]이 존재한다. [math(x)]에 [math(a)]를 대입하고 양변에 [math(\bmod p)]를 취하면 [math(r \equiv f(a) \equiv 0\ \pmod{p})]를 얻으므로 [math(f(x) \equiv (x-a)g(x)\ \pmod{p})]이다. 따라서 [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p})]와 [math((x-a)g(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해집합은 동일하다. [math(\deg\ g=n-1)]임은 자명하므로 [math((x-a)g(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해는 [math(n)]개 이하이다.[* [math(g(x))]의 계수 중 [math(p)]의 배수가 아닌 것이 있음은 자명합니다.] 그러므로 [math(f(x) \equiv 0\ \pmod{p})]의 해의 개수 또한 [math(n)]개 이하이다. 이로써 증명이 끝난다.
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