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양자역학
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2759,4777
=== 파동역학과 행렬역학의 관계 === 둘의 차이는 없다. 어느 것을 쓰든지 마음대로이다. 참고로 슈뢰딩거가 사용한 파동함수는 [math(\psi (\vec{x} , t) = \left \langle \vec{x} \left | U (t ; {t}_{0}) \right | \psi \right \rangle = U (t ; {t}_{0}) \left \langle \vec{x} \middle | \psi \right \rangle)]이라고 나타낼 수 있다. 만일 이러한 파동함수를 이용하여 물리량 고유값을 구하려고 한다면, [math(\left \langle A (t ; {t}_{0}) \right \rangle = \left \langle \psi (t ; {t}_{0}) \left | A \right | \psi (t ; {t}_{0}) \right \rangle = \left \langle \psi \left | {U}^{\dagger} (t ; {t}_{0}) \, H \, U (t ; {t}_{0}) \right | \psi \right \rangle)]이라고 구할 수 있는데, 이것은 시간에 따라 변하는 물리량 연산자가 [math(A (t ; {t}_{0}) = {U}^{\dagger} (t ; {t}_{0}) \, A \, U (t ; {t}_{0}))]이라는 말과 같다. 또한 해밀토니안 연산자는 어떤 것에 작용하든지 [math(i \hbar \! \displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \! f = H f)]이므로 >[math(\begin{aligned} i \hbar \! \frac{d}{d t} \! A (t ; {t}_{0}) &= {U}^{\dagger} \overleftarrow{i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t}} A U + {U}^{\dagger} A \overrightarrow{i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t}} U + i \hbar {U}^{\dagger} \! \frac{\partial}{\partial t} \! A U \\ &= {U}^{\dagger} \overleftarrow{i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t}} U {U}^{\dagger} A U + {U}^{\dagger} A U {U}^{\dagger} \overrightarrow{i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t}} U + i \hbar {U}^{\dagger} \! \frac{\partial}{\partial t} \! A U \\ &= {H}^{\dagger} (t ; {t}_{0}) A (t ; {t}_{0}) + A (t ; {t}_{0}) H (t ; {t}_{0}) + i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! A (t ; {t}_{0}) \\ &= A (t ; {t}_{0}) H (t ; {t}_{0}) - H (t ; {t}_{0}) A (t ; {t}_{0}) + i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! A (t ; {t}_{0}) \\ &= \left[A (t ; {t}_{0}), H (t ; {t}_{0})\right] + i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! A (t ; {t}_{0}) \end{aligned})] 이다. 파동역학이든 행렬역학이든 해밀토니안은 변하지 않으므로 [math(H (t ; {t}_{0}) = H)]이고 [math(U (t ; {t}_{0}) = \exp (({i} / {\hbar})H(t - {t}_{0})))]이다. 따라서 하이젠베르크의 운동 방정식 [math(i \hbar \! \frac{d}{d t} \! A = [A , H] + i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! A)]이 자연스럽게 유도된다. 이는 두 역학체계가 단지 관점이 다를 뿐, 어느 것을 사용하든 결과는 같다는 말이다.
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=== 파동역학과 행렬역학의 관계 === 둘의 차이는 없다. 어느 것을 쓰든지 마음대로이다. 참고로 슈뢰딩거가 사용한 파동함수는 [math(\psi (\vec{x} , t) = \left \langle \vec{x} \left | U (t ; {t}_{0}) \right | \psi \right \rangle = U (t ; {t}_{0}) \left \langle \vec{x} \middle | \psi \right \rangle)]이라고 나타낼 수 있다. 만일 이러한 파동함수를 이용하여 물리량 고유값을 구하려고 한다면, [math(\left \langle A (t ; {t}_{0}) \right \rangle = \left \langle \psi (t ; {t}_{0}) \left | A \right | \psi (t ; {t}_{0}) \right \rangle = \left \langle \psi \left | {U}^{\dagger} (t ; {t}_{0}) \, H \, U (t ; {t}_{0}) \right | \psi \right \rangle)]이라고 구할 수 있는데, 이것은 시간에 따라 변하는 물리량 연산자가 [math(A (t ; {t}_{0}) = {U}^{\dagger} (t ; {t}_{0}) \, A \, U (t ; {t}_{0}))]이라는 말과 같다. 또한 해밀토니안 연산자는 어떤 것에 작용하든지 [math(i \hbar \! \displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \! f = H f)]이므로 >[math(\begin{aligned} i \hbar \! \frac{d}{d t} \! A (t ; {t}_{0}) &= {U}^{\dagger} \overleftarrow{i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t}} A U + {U}^{\dagger} A \overrightarrow{i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t}} U + i \hbar {U}^{\dagger} \! \frac{\partial}{\partial t} \! A U \\ &= {U}^{\dagger} \overleftarrow{i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t}} U {U}^{\dagger} A U + {U}^{\dagger} A U {U}^{\dagger} \overrightarrow{i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t}} U + i \hbar {U}^{\dagger} \! \frac{\partial}{\partial t} \! A U \\ &= {H}^{\dagger} (t ; {t}_{0}) A (t ; {t}_{0}) + A (t ; {t}_{0}) H (t ; {t}_{0}) + i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! A (t ; {t}_{0}) \\ &= A (t ; {t}_{0}) H (t ; {t}_{0}) - H (t ; {t}_{0}) A (t ; {t}_{0}) + i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! A (t ; {t}_{0}) \\ &= \left[A (t ; {t}_{0}), H (t ; {t}_{0})\right] + i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! A (t ; {t}_{0}) \end{aligned})] 이다. 파동역학이든 행렬역학이든 해밀토니안은 변하지 않으므로 [math(H (t ; {t}_{0}) = H)]이고 [math(U (t ; {t}_{0}) = \exp (({i} / {\hbar})H(t - {t}_{0})))]이다. 따라서 하이젠베르크의 운동 방정식 [math(i \hbar \! \frac{d}{d t} \! A = [A , H] + i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! A)]이 자연스럽게 유도된다. 이는 두 역학체계가 단지 관점이 다를 뿐, 어느 것을 사용하든 결과는 같다는 말이다.
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