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Quantum Mechanics
양자상태에 놓인 어떤 물리적 대상이 어떠한 동역학적 성질을 갖는가를 규명하는, 물리학의 한 분야이다. 상대론을 도입했느냐 안 했느냐에 따라 상대론적 양자역학과 비상대론적 양자역학으로 나뉜다. 보통 상대론적 양자역학은 양자장론과 거의 같다고 볼 수 있다. 비상대론적 양자역학은 일반적으로 어떻게 기술하느냐에 따라 파동역학(Wave Mechanics)과 행렬역학(Matrix Mechanics)으로 나뉘는데, 최근에는 이 둘을 혼용하여 쓰는 추세가 흔하다.
목차
1. 구양자론
2. 비상대론적 양자역학
2.1. 파동역학
2.2. 행렬역학
2.3. 파동역학과 행렬역학의 관계
2.4. 파울리 방정식
3. 상대론적 양자역학
3.1. 스핀 0 : 클라인-고든 방정식
4. 영상
1. 구양자론
2. 비상대론적 양자역학
2.1. 파동역학
2.2. 행렬역학
2.3. 파동역학과 행렬역학의 관계
2.4. 파울리 방정식
3. 상대론적 양자역학
3.1. 스핀 0 : 클라인-고든 방정식
4. 영상
1. 구양자론 ✎ ⊖
구양자론(Old Quantum Theory)는 플랑크(M. Planck)의 양자가설에서 시작하여 행렬역학과 파동역학이 나오기 이전의 양자역학을 의미한다. 가장 널리 알려진 것이 보어의 원자모형이며, 이는 수소에 대해서는 정확하나, 다른 원소에 대해서는 잘못된 결론을 이끌어냈다. (물론 정성적인 것에서는 그나마 쓸만한 정도였다.) 하지만 구양자론은 위상공간(Phase Space)에서 주기운동의 형태를 보이지 않는 운동을 설명하지 못했으며, 또한 불확정성 원리를 유념하여 정리를 할 경우 잘못된 결론에 이르는 경우도 많다.
2. 비상대론적 양자역학 ✎ ⊖
비상대론적 양자역학(Non-Relativistic Quantum Mechanics)는 고전적인 시공간 체계를 이용하여 양자역학을 기술한 것이다. 비상대론적 양자역학은 어떻게 현상을 기술하느냐에 따라 파동역학(Wave Mechanics)과 행렬역학(Matrix Mechanics)으로 나뉜다.
2.1. 파동역학 ✎ ⊖
슈뢰딩거(E. Schrödinger)가 정식화한 비상대론적 양자역학으로, 양자상태를 \\psi (\\vec{x} , t)로 나타낸다. 이것을 파동함수(Wave Function)이라고 부르는데, 실제로 고전적인 파동이라고 가정하여 양자상태에 알맞게 발견하였기 때문이다. 고전적인 자유파동은 \\psi (\\vec{x} , t) = A \\exp i (\\vec{k} \\cdot \\vec{x} - \\omega t)로 기술할 수 있는데, 아인슈타인의 에너지-진동수 관계식 E = \\hbar \\omega와 드 브로이의 운동량-파수(1) 관계식 \\vec{p} = \\hbar \\vec{k}를 이용하면 에너지 연산자와 운동량 연산자는 E \\psi = i \\hbar \\! \\frac{\\partial}{\\partial t} \\! \\psi \\; , \\; \\vec{p} \\psi = - i \\hbar \\nabla \\psi이다. 고전적인 보존계에서 한 입자의 에너지는 그 입자의 해밀토니안(Hamiltonian)과 같으므로 에너지 연산자를 해밀토니안 연산자 H라고 쓴다. 고전적인 해밀토니안은 (보존계에서) H = {E}_{\\text{k}} + {E}_{\\text{p}} = \\frac{{\\vec{p}}^{2}}{2 m} + {E}_{\\text{p}}이므로, 양자상태가 \\psi (\\vec{x} , t)인 입자의 운동 방정식은 i \\hbar \\! \\frac{\\partial}{\\partial t} \\! \\psi (\\vec{x} , t) = \\left ( - \\! \\frac{{\\hbar}^{2}}{2 m} \\! {\\nabla}^{2} + {E}_{\\text{p}} \\right ) \\psi (\\vec{x} , t)이다. 이 방정식을 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger Equation)이라고 하며, 기존의 물리학자들이 많이 썼던 방식을 사용하였기 때문에 많이 선호된다.
2.2. 행렬역학 ✎ ⊖
하이젠베르크(W. Heisenberg)가 정식화한 비상대론적 양자역학으로, 양자상태를 1 \\times n 행렬 ({c}_{i})로 나타낸다. 하이젠베르크에게 있어서 연산자란 n \\times n 행렬이며 양자상태를 나타내는 행렬을 좌우로 써서 곱함으로써(2) 연산자의 고유값을 구할 수 있다. 또한 하이젠베르크는 양자상태가 시간에 따라서 변하는 것이 아니라 연산자가 시간에 따라서 변한다고 생각했는데, 그렇게 해서 만든 운동 방정식이 i \\hbar \\! \\frac{d}{d t} \\! A = [A , H] + i \\hbar \\! \\frac{\\partial}{\\partial t} \\! A이다. 여기서 A는 관측가능한 물리량을 나타내는 연산자이다. 참고로 A가 보존량이라면, 시각에 대하여 변하지 않고 또 시각을 명시적으로 표현하지 않아도 되므로 해밀토니안 연산자 H와의 교환자 값은 [A , H] = 0이 된다. 하지만 적절한 행렬을 찾는 데 너무 힘들고, 또 무한차 정방행렬을 다루는 것이 굉장히 힘들기 때문에 흔히 n개의 양자상태 문제라고 알려진 제한된 경우에만 많이 쓰인다. 대표적인 예로 스핀(Spin)(3)이 있다.
2.3. 파동역학과 행렬역학의 관계 ✎ ⊖
둘의 차이는 없다. 어느 것을 쓰든지 마음대로이다. 참고로 슈뢰딩거가 사용한 파동함수는 \\psi (\\vec{x} , t) = \\left \\langle \\vec{x} \\left | U (t ; {t}_{0}) \\right | \\psi \\right \\rangle = U (t ; {t}_{0}) \\left \\langle \\vec{x} \\middle | \\psi \\right \\rangle이라고 나타낼 수 있다. 만일 이러한 파동함수를 이용하여 물리량 고유값을 구하려고 한다면, \\left \\langle A (t ; {t}_{0}) \\right \\rangle = \\left \\langle \\psi (t ; {t}_{0}) \\left | A \\right | \\psi (t ; {t}_{0}) \\right \\rangle = \\left \\langle \\psi \\left | {U}^{\\dagger} (t ; {t}_{0}) \\, H \\, U (t ; {t}_{0}) \\right | \\psi \\right \\rangle이라고 구할 수 있는데, 이것은 시간에 따라 변하는 물리량 연산자가 A (t ; {t}_{0}) = {U}^{\\dagger} (t ; {t}_{0}) \\, A \\, U (t ; {t}_{0})이라는 말과 같다. 또한 해밀토니안 연산자는 어떤 것에 작용하든지 i \\hbar \\! \\displaystyle \\frac{\\partial}{\\partial t} \\! f = H f이므로
이다. 파동역학이든 행렬역학이든 해밀토니안은 변하지 않으므로 H (t ; {t}_{0}) = H이고 U (t ; {t}_{0}) = \\exp (({i} / {\\hbar})H(t - {t}_{0}))이다. 따라서 하이젠베르크의 운동 방정식 i \\hbar \\! \\frac{d}{d t} \\! A = [A , H] + i \\hbar \\! \\frac{\\partial}{\\partial t} \\! A이 자연스럽게 유도된다. 이는 두 역학체계가 단지 관점이 다를 뿐, 어느 것을 사용하든 결과는 같다는 말이다.
\\begin{aligned} i \\hbar \\! \\frac{d}{d t} \\! A (t ; {t}_{0}) &= {U}^{\\dagger} \\overleftarrow{i \\hbar \\! \\frac{\\partial}{\\partial t}} A U + {U}^{\\dagger} A \\overrightarrow{i \\hbar \\! \\frac{\\partial}{\\partial t}} U + i \\hbar {U}^{\\dagger} \\! \\frac{\\partial}{\\partial t} \\! A U \\\\ &= {U}^{\\dagger} \\overleftarrow{i \\hbar \\! \\frac{\\partial}{\\partial t}} U {U}^{\\dagger} A U + {U}^{\\dagger} A U {U}^{\\dagger} \\overrightarrow{i \\hbar \\! \\frac{\\partial}{\\partial t}} U + i \\hbar {U}^{\\dagger} \\! \\frac{\\partial}{\\partial t} \\! A U \\\\ &= {H}^{\\dagger} (t ; {t}_{0}) A (t ; {t}_{0}) + A (t ; {t}_{0}) H (t ; {t}_{0}) + i \\hbar \\! \\frac{\\partial}{\\partial t} \\! A (t ; {t}_{0}) \\\\ &= A (t ; {t}_{0}) H (t ; {t}_{0}) - H (t ; {t}_{0}) A (t ; {t}_{0}) + i \\hbar \\! \\frac{\\partial}{\\partial t} \\! A (t ; {t}_{0}) \\\\ &= \\left[A (t ; {t}_{0}), H (t ; {t}_{0})\\right] + i \\hbar \\! \\frac{\\partial}{\\partial t} \\! A (t ; {t}_{0}) \\end{aligned}
이다. 파동역학이든 행렬역학이든 해밀토니안은 변하지 않으므로 H (t ; {t}_{0}) = H이고 U (t ; {t}_{0}) = \\exp (({i} / {\\hbar})H(t - {t}_{0}))이다. 따라서 하이젠베르크의 운동 방정식 i \\hbar \\! \\frac{d}{d t} \\! A = [A , H] + i \\hbar \\! \\frac{\\partial}{\\partial t} \\! A이 자연스럽게 유도된다. 이는 두 역학체계가 단지 관점이 다를 뿐, 어느 것을 사용하든 결과는 같다는 말이다.
2.4. 파울리 방정식 ✎ ⊖
슈뢰딩거 방정식을 스핀에 대하여 고려한 것이 바로 파울리 방정식이다. i \\hbar \\! \\frac{\\partial}{\\partial t} \\! \\left | \\psi \\right \\rangle = \\left ( \\frac{{ \\left ( i \\hbar \\nabla + q \\vec{A} \\right ) }^{2}}{2 m} + q \\phi + \\frac{q \\hbar}{2 m} \\! \\vec{\\boldsymbol{\\sigma}} \\cdot \\left ( \\nabla \\times \\vec{A} \\right ) \\right ) \\left | \\psi \\right \\rangle 이 방정식에서 스피너 \\left | \\psi \\right \\rangle는 행렬로 표현하면 \\left | \\psi \\right \\rangle = {c}_{\\uparrow} \\left | \\uparrow \\right \\rangle + {c}_{\\downarrow} \\left | \\downarrow \\right \\rangle = \\begin{pmatrix} {c}_{\\uparrow} \\\\ {c}_{\\downarrow} \\end{pmatrix}이고 파울리 스핀 행렬 \\vec{\\boldsymbol{\\sigma}} = ({\\boldsymbol{\\sigma}}^{1} , {\\boldsymbol{\\sigma}}^{2} , {\\boldsymbol{\\sigma}}^{3})은 각각 {\\boldsymbol{\\sigma}}^{1} = \\begin{pmatrix} 0 & + 1 \\\\ + 1 & 0 \\end{pmatrix} \\, , \\, {\\boldsymbol{\\sigma}}^{2} = \\begin{pmatrix} 0 & - i \\\\ + i & 0 \\end{pmatrix} \\, , \\, {\\boldsymbol{\\sigma}}^{3} = \\begin{pmatrix} + 1 & 0 \\\\ 0 & - 1 \\end{pmatrix}이다. 스핀 연산자가 \\vec{S} \\left | \\psi \\right \\rangle = s \\hbar \\vec{\\boldsymbol{\\sigma}} \\left | \\psi \\right \\rangle임을 감안하면 전하를 가진 입자의 스핀은 자기장과 상호작용함을 알 수 있다. 이 식에서 s는 스핀 양자수이다. 따라서 전자기장과 전자는 스핀에 의해서도 서로 상호작용한다.
3. 상대론적 양자역학 ✎ ⊖
상대론적 양자역학은 상대론적인 상황에서 양자상태의 입자들이 어떻게 기술되는지를 보여준다. 구분의 기준은 스핀이며 모두 다 기본적으로 연속체에 대한 라그랑주 운동 방정식 \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial \\phi} - \\frac{\\partial}{\\partial {x}^{\\mu}} \\! \\frac{\\partial \\mathcal{L}}{\\partial ({\\partial}_{\\mu} \\phi)} = 0으로부터 도출된다. 즉, 각 방정식은 적절한 라그랑지안 밀도 \\mathcal{L} = \\mathcal{L} (\\phi , {\\partial}_{\\mu} \\phi ; {x}^{\\mu})를 사용하여 구할 수 있다.
3.1. 스핀 0 : 클라인-고든 방정식 ✎ ⊖
클라인-고든 방정식(Klein-Gordon Equation)은 스핀이 0인 스칼라 입자에 대한 운동 방정식이다.
이 운동 방정식의 형태는 흔히 가림 효과가 있는 4차원 라플라스 방정식이라고 한다. 이 가림 효과의 원인은 바로 질량이며, 질량으로 인해 입자는 제한된 수명 이내에 부서지고 만다. 이 클라인-고든 방정식을 만족하는 어떤 스칼라 입자 \\phi가 갖는 라그랑지안 밀도는
이다. 하지만 보다 확장된 상황에서 보면 때때로 두 개 이상의 스칼라 입자들이 서로 섞여서 상호작용하는 경우가 있다. 이 경우 다중항 \\Phi = \\mathrm{Col} ({\\phi}_{1} , {\\phi}_{2} , {\\phi}_{3} , \\cdots , {\\phi}_{n})을 이용하여 나타낼 수 있다. 이 경우의 라그랑지안 밀도는
이다. 위에서 나타낸 식은 모두 자유입자에 대한 방정식이다. 만약 이 스칼라 입자가 다른 입자와 상호작용하여 퍼텐셜 에너지를 가질 경우, 게이지 대칭성에 의해 대역적(Global)으로는 단지 위상만 \\phi \\mapsto \\exp \\left ( \\displaystyle i \\! \\frac{1}{2} \\! Y \\theta \\right ) \\phi로 변하여 그 방정식의 모양이 불변하지만 국소적(Local)으로는 위상이 \\phi \\mapsto \\exp \\left ( \\displaystyle i \\! \\frac{1}{2} \\! Y \\theta ({x}^{\\mu}) \\right ) \\phi으로 변하기 때문에 시공간 상의 모든 점에 대해 똑같이 변환되었다고 기대할 수 없다. 따라서 국소적 게이지 변환의 경우
으로 변한다. 참고로 단일 스칼라 입자는 위와 같은 변환만 가능하며, 위와 같은 변환을 \\mathrm{U} (1) 게이지 변환이라고 부른다. 또한 {D}_{\\mu} = {\\partial}_{\\mu} + \\displaystyle i \\! \\frac{1}{2} \\! g Y {B}_{\\mu}를 공변도함수라고 부르고 {B}_{\\mu}는 어떤 \\mathrm{U} (1) 게이지 입자이다. 만약 다중항의 경우라면 \\mathrm{U} (1) 변환뿐만 아니라 \\mathrm{SU} (2) 변환 \\Phi \\mapsto \\exp \\left ( \\displaystyle \\frac{1}{2} \\! \\vec{\\sigma} \\cdot \\vec{\\theta} \\right ) \\Phi에 대해서도 게이지 대칭이 생기므로
이 된다. 여기서 {D}_{\\mu} = {\\partial}_{\\mu} + i \\displaystyle \\! \\frac{1}{2} \\! {g}_{B} Y {B}_{\\mu} + i \\! \\frac{1}{2} \\! {g}_{W} \\vec{\\sigma} \\cdot {\\vec{W}}_{\\mu}는 공변도함수이다. 놀라운 점은 \\mathrm{SU} (2) 게이지 변환에 대해서는 질량이 m = 0이어야 만족된다는 사실이다. 만일 질량을 가지고 있는 경우 자발적 대칭성 붕괴가 일어나 질량 항이 생겨난다. 이와 관련된 것이 바로 힉스 메커니즘이다.
\\left ( {\\partial}^{\\mu} {\\partial}_{\\mu} + \\frac{{m}^{2} {c}^{2}}{{\\hbar}^{2}} \\right ) \\phi = 0
이 운동 방정식의 형태는 흔히 가림 효과가 있는 4차원 라플라스 방정식이라고 한다. 이 가림 효과의 원인은 바로 질량이며, 질량으로 인해 입자는 제한된 수명 이내에 부서지고 만다. 이 클라인-고든 방정식을 만족하는 어떤 스칼라 입자 \\phi가 갖는 라그랑지안 밀도는
\\mathcal{L} = \\frac{1}{2} \\! {\\partial}^{\\mu} {\\phi}^{\\ast} {\\partial}_{\\mu} \\phi - \\frac{1}{2} \\! {\\phi}^{\\ast} \\! \\frac{{m}^{2} {c}^{2}}{{\\hbar}^{2}} \\! \\phi
이다. 하지만 보다 확장된 상황에서 보면 때때로 두 개 이상의 스칼라 입자들이 서로 섞여서 상호작용하는 경우가 있다. 이 경우 다중항 \\Phi = \\mathrm{Col} ({\\phi}_{1} , {\\phi}_{2} , {\\phi}_{3} , \\cdots , {\\phi}_{n})을 이용하여 나타낼 수 있다. 이 경우의 라그랑지안 밀도는
\\mathcal{L} = \\frac{1}{2} \\! {\\partial}^{\\mu} {\\Phi}^{\\dagger} {\\partial}_{\\mu} \\Phi - \\frac{1}{2} \\! {\\Phi}^{\\dagger} \\! \\frac{{\\boldsymbol{m}}^{2} {c}^{2}}{{\\hbar}^{2}} \\! \\Phi
이다. 위에서 나타낸 식은 모두 자유입자에 대한 방정식이다. 만약 이 스칼라 입자가 다른 입자와 상호작용하여 퍼텐셜 에너지를 가질 경우, 게이지 대칭성에 의해 대역적(Global)으로는 단지 위상만 \\phi \\mapsto \\exp \\left ( \\displaystyle i \\! \\frac{1}{2} \\! Y \\theta \\right ) \\phi로 변하여 그 방정식의 모양이 불변하지만 국소적(Local)으로는 위상이 \\phi \\mapsto \\exp \\left ( \\displaystyle i \\! \\frac{1}{2} \\! Y \\theta ({x}^{\\mu}) \\right ) \\phi으로 변하기 때문에 시공간 상의 모든 점에 대해 똑같이 변환되었다고 기대할 수 없다. 따라서 국소적 게이지 변환의 경우
\\mathcal{L} = \\frac{1}{2} \\! {D}^{\\mu} {\\phi}^{\\ast} {D}_{\\mu} \\phi - \\frac{1}{2} \\! {\\phi}^{\\ast} \\! \\frac{{m}^{2} {c}^{2}}{{\\hbar}^{2}} \\! \\phi
으로 변한다. 참고로 단일 스칼라 입자는 위와 같은 변환만 가능하며, 위와 같은 변환을 \\mathrm{U} (1) 게이지 변환이라고 부른다. 또한 {D}_{\\mu} = {\\partial}_{\\mu} + \\displaystyle i \\! \\frac{1}{2} \\! g Y {B}_{\\mu}를 공변도함수라고 부르고 {B}_{\\mu}는 어떤 \\mathrm{U} (1) 게이지 입자이다. 만약 다중항의 경우라면 \\mathrm{U} (1) 변환뿐만 아니라 \\mathrm{SU} (2) 변환 \\Phi \\mapsto \\exp \\left ( \\displaystyle \\frac{1}{2} \\! \\vec{\\sigma} \\cdot \\vec{\\theta} \\right ) \\Phi에 대해서도 게이지 대칭이 생기므로
\\mathcal{L} = {D}^{\\mu} {\\Phi}^{\\dagger} {D}_{\\mu} \\Phi
이 된다. 여기서 {D}_{\\mu} = {\\partial}_{\\mu} + i \\displaystyle \\! \\frac{1}{2} \\! {g}_{B} Y {B}_{\\mu} + i \\! \\frac{1}{2} \\! {g}_{W} \\vec{\\sigma} \\cdot {\\vec{W}}_{\\mu}는 공변도함수이다. 놀라운 점은 \\mathrm{SU} (2) 게이지 변환에 대해서는 질량이 m = 0이어야 만족된다는 사실이다. 만일 질량을 가지고 있는 경우 자발적 대칭성 붕괴가 일어나 질량 항이 생겨난다. 이와 관련된 것이 바로 힉스 메커니즘이다.
