양자역학 (편집) (6)

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=== 파울리 방정식 ===
슈뢰딩거 방정식을 스핀에 대하여 고려한 것이 바로 파울리 방정식이다. [math(i \hbar \! \frac{\partial}{\partial t} \! \left | \psi \right \rangle = \left ( \frac{{ \left ( i \hbar \nabla + q \vec{A} \right ) }^{2}}{2 m} + q \phi + \frac{q \hbar}{2 m} \! \vec{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \left ( \nabla \times \vec{A} \right ) \right ) \left | \psi \right \rangle)] 이 방정식에서 스피너 [math(\left | \psi \right \rangle)]는 행렬로 표현하면 [math(\left | \psi \right \rangle = {c}_{\uparrow} \left | \uparrow \right \rangle + {c}_{\downarrow} \left | \downarrow \right \rangle = \begin{pmatrix} {c}_{\uparrow} \\ {c}_{\downarrow} \end{pmatrix})]이고 파울리 스핀 행렬 [math(\vec{\boldsymbol{\sigma}} = ({\boldsymbol{\sigma}}^{1} , {\boldsymbol{\sigma}}^{2} , {\boldsymbol{\sigma}}^{3}))]은 각각 [math({\boldsymbol{\sigma}}^{1} = \begin{pmatrix} 0 & + 1 \\ + 1 & 0 \end{pmatrix} \, , \, {\boldsymbol{\sigma}}^{2} = \begin{pmatrix} 0 & - i \\ + i & 0 \end{pmatrix} \, , \, {\boldsymbol{\sigma}}^{3} = \begin{pmatrix} + 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix})]이다. 스핀 연산자가 [math(\vec{S} \left | \psi \right \rangle = s \hbar \vec{\boldsymbol{\sigma}} \left | \psi \right \rangle)]임을 감안하면 전하를 가진 입자의 스핀은 자기장과 상호작용함을 알 수 있다. 이 식에서 [math(s)]는 스핀 양자수이다. 따라서 전자기장과 전자는 스핀에 의해서도 서로 상호작용한다.

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