양자역학 (편집) (8)

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=== 스핀 0 : 클라인-고든 방정식 ===
'''클라인-고든 방정식(Klein-Gordon Equation)'''은 스핀이 0인 스칼라 입자에 대한 운동 방정식이다. 
>[math(\left ( {\partial}^{\mu} {\partial}_{\mu} + \frac{{m}^{2} {c}^{2}}{{\hbar}^{2}} \right ) \phi = 0)] 
이 운동 방정식의 형태는 흔히 '''가림 효과가 있는 4차원 라플라스 방정식'''이라고 한다. 이 가림 효과의 원인은 바로 질량이며, 질량으로 인해 입자는 제한된 수명 이내에 부서지고 만다. 이 클라인-고든 방정식을 만족하는 어떤 스칼라 입자 [math(\phi)]가 갖는 라그랑지안 밀도는 
>[math(\mathcal{L} = \frac{1}{2} \! {\partial}^{\mu} {\phi}^{\ast} {\partial}_{\mu} \phi - \frac{1}{2} \! {\phi}^{\ast} \! \frac{{m}^{2} {c}^{2}}{{\hbar}^{2}} \! \phi)]
이다. 하지만 보다 확장된 상황에서 보면 때때로 두 개 이상의 스칼라 입자들이 서로 섞여서 상호작용하는 경우가 있다. 이 경우 다중항 [math(\Phi = \mathrm{Col} ({\phi}_{1} , {\phi}_{2} , {\phi}_{3} , \cdots , {\phi}_{n}))]을 이용하여 나타낼 수 있다. 이 경우의 라그랑지안 밀도는 
>[math(\mathcal{L} = \frac{1}{2} \! {\partial}^{\mu} {\Phi}^{\dagger} {\partial}_{\mu} \Phi - \frac{1}{2} \! {\Phi}^{\dagger} \! \frac{{\boldsymbol{m}}^{2} {c}^{2}}{{\hbar}^{2}} \! \Phi)]
이다. 위에서 나타낸 식은 모두 자유입자에 대한 방정식이다. 만약 이 스칼라 입자가 다른 입자와 상호작용하여 퍼텐셜 에너지를 가질 경우, 게이지 대칭성에 의해 대역적(Global)으로는 단지 위상만 [math(\phi \mapsto \exp \left ( \displaystyle i \! \frac{1}{2} \! Y \theta \right ) \phi)]로 변하여 그 방정식의 모양이 불변하지만 국소적(Local)으로는 위상이 [math(\phi \mapsto \exp \left ( \displaystyle i \! \frac{1}{2} \! Y \theta ({x}^{\mu}) \right ) \phi)]으로 변하기 때문에 시공간 상의 모든 점에 대해 똑같이 변환되었다고 기대할 수 없다. 따라서 국소적 게이지 변환의 경우 
>[math(\mathcal{L} = \frac{1}{2} \! {D}^{\mu} {\phi}^{\ast} {D}_{\mu} \phi - \frac{1}{2} \! {\phi}^{\ast} \! \frac{{m}^{2} {c}^{2}}{{\hbar}^{2}} \! \phi)]
으로 변한다. 참고로 단일 스칼라 입자는 위와 같은 변환만 가능하며, 위와 같은 변환을 '''[math(\mathrm{U} (1))] 게이지 변환'''이라고 부른다. 또한 [math({D}_{\mu} = {\partial}_{\mu} + \displaystyle i \! \frac{1}{2} \! g Y {B}_{\mu})]를 공변도함수라고 부르고 [math({B}_{\mu})]는 어떤 [math(\mathrm{U} (1))] 게이지 입자이다. 만약 다중항의 경우라면 [math(\mathrm{U} (1))] 변환뿐만 아니라 [math(\mathrm{SU} (2))] 변환 [math(\Phi \mapsto \exp \left ( \displaystyle \frac{1}{2} \! \vec{\sigma} \cdot \vec{\theta} \right ) \Phi)]에 대해서도 게이지 대칭이 생기므로 
>[math(\mathcal{L} = {D}^{\mu} {\Phi}^{\dagger} {D}_{\mu} \Phi)]
이 된다. 여기서 [math({D}_{\mu} = {\partial}_{\mu} + i \displaystyle \! \frac{1}{2} \! {g}_{B} Y {B}_{\mu} + i \! \frac{1}{2} \! {g}_{W} \vec{\sigma} \cdot {\vec{W}}_{\mu})]는 공변도함수이다. 놀라운 점은 [math(\mathrm{SU} (2))] 게이지 변환에 대해서는 질량이 [math(m = 0)]이어야 만족된다는 사실이다. 만일 질량을 가지고 있는 경우 '''자발적 대칭성 붕괴'''가 일어나 질량 항이 생겨난다. 이와 관련된 것이 바로 '''힉스 메커니즘'''이다.

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