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다항함수 보간법
(편집) (6)
(편집 필터 규칙)
3064,3586
== 보간 다항식의 유일성 == 서로 다른 [math(x_1,\cdots,x_n)]와 [math(y_1,\cdots,y_n)]에 대해 [math(p(x_i)=y_i)]인 [math((n-1))]차 이하의 다항식은 유일하다. 임의의 [math(i\in\{1,\cdots,n\})]에 대해 [math(p_1(x_i)=p_2(x_i)=y_i)]인 [math((n-1))]차 이하의 다항식 [math(p_1(x),p_2(x))]가 존재한다고 하자. 그러면 [math(q(x)=p_1(x)-p_2(x))]는 [math((n-1))]차 이하의 다항식이고, [math(q(x_i)=0)]이다. 따라서 방정식 [math(q(x)=0)]은 [math(n)]개의 해를 가진다. 그런데 대수학의 기본 정리에 의해 상수가 아닌 [math((n-1))]차 이하의 다항식은 [math(n-1)]개의 근을 가지므로, [math(q(x))]는 상수이다. 따라서 [math(q(x)=q(x_i)=0=p_1(x)-p_2(x))]이므로 원하는 결과를 얻는다.
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== 보간 다항식의 유일성 == 서로 다른 [math(x_1,\cdots,x_n)]와 [math(y_1,\cdots,y_n)]에 대해 [math(p(x_i)=y_i)]인 [math((n-1))]차 이하의 다항식은 유일하다. 임의의 [math(i\in\{1,\cdots,n\})]에 대해 [math(p_1(x_i)=p_2(x_i)=y_i)]인 [math((n-1))]차 이하의 다항식 [math(p_1(x),p_2(x))]가 존재한다고 하자. 그러면 [math(q(x)=p_1(x)-p_2(x))]는 [math((n-1))]차 이하의 다항식이고, [math(q(x_i)=0)]이다. 따라서 방정식 [math(q(x)=0)]은 [math(n)]개의 해를 가진다. 그런데 대수학의 기본 정리에 의해 상수가 아닌 [math((n-1))]차 이하의 다항식은 [math(n-1)]개의 근을 가지므로, [math(q(x))]는 상수이다. 따라서 [math(q(x)=q(x_i)=0=p_1(x)-p_2(x))]이므로 원하는 결과를 얻는다.
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