이차 가우스 합 (편집) (7)

==== 증명 ====
<math> \sum_{a=0}^{p-1}g(a)g(-a) </math>의 값을 두 가지 방법으로 구해 보자.

<math>\textup{(i)} \sum_{a=0}^{p-1}g(a)g(-a) = \sum_{a=0}^{p-1}\left(\frac{a}{p}\right)g(1)\cdot\left(\frac{-a}{p}\right)g(1) </math>
* <math> = \sum_{a=1}^{p-1}\left(\frac{-1}{p}\right)\{g(1)\}^{2} </math>
* <math> = (p-1)\left(\frac{-1}{p}\right)\{g(1)\}^{2} </math>

<math>\textup{(ii)} \sum_{a=0}^{p-1}g(a)g(-a) </math>
* <math> = \sum_{a=0}^{p-1}(\sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)\zeta^{an}\cdot\sum_{n=1}^{p-1}\left(\frac{m}{p}\right)\zeta^{am})</math>
* <math> = \sum_{a=0}^{p-1}\sum_{n=1}^{p-1}\sum_{m=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)\left(\frac{m}{p}\right)\zeta^{a(n-m)} </math>
* <math> = \sum_{n=1}^{p-1}\sum_{m=1}^{p-1}\left(\frac{n}{p}\right)\left(\frac{m}{p}\right)\sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a(n-m)}</math>
* <math> = \sum_{n=1}^{p-1}\sum_{1\leq m\leq p-1, m\neq n}^{ }\left(\frac{n}{p}\right)\left(\frac{m}{p}\right)\sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a(n-m)}+\sum_{n=1}^{p-1}\sum_{1\leq m\leq p-1, m=n}^{ }\left(\frac{n}{p}\right)\left(\frac{m}{p}\right)\sum_{a=0}^{p-1}\zeta^{a(n-m)}</math>
* <math> = 0 +\sum_{n=1}^{p-1}\sum_{m=n}^{ }\left(\frac{m}{p}\right)\left(\frac{m}{p}\right)\sum_{a=0}^{p-1}1</math>
* <math> = 0 +\sum_{n=1}^{p-1}p</math>
* <math> = p(p-1) </math>
<math>\textup{(i), (ii)}</math>에서

<math> (p-1)\left(\frac{-1}{p}\right)\{g(1)\}^{2} = p(p-1)  </math>

<math> \{g(1)\}^{2} = \left(\frac{-1}{p}\right)p = (-1)^{\frac{p-1}{2}}p</math>
* <math> \therefore |g(1)| = \sqrt{(-1)^{\frac{p-1}{2}}p} </math>
[math(g(1))]의 부호를 정하는 것은 그 절댓값을 구하는 것보다 훨씬 어려운 문제이다.

(임시 저장) (임시 저장 불러오기)

(↪️) (💎) (🛠️) (추가)

==== 증명 ====
<math> \sum_{a=0}^{p-1}g(a)g(-a) </math>의 값을 두 가지 방법으로 구해 보자.

<math> (p-1)\left(\frac{-1}{p}\right)\{g(1)\}^{2} = p(p-1)  </math>

비로그인 상태입니다. 편집한 내용을 저장하면 지금 접속한 IP가 기록됩니다.

편집을 전송하면 당신은 이 문서의 기여자로서 본인이 작성한 내용이 CC BY 4.0에 따라 배포되고, 기여한 문서의 하이퍼링크나 URL로 저작자 표시가 충분하다는 것에 동의하는 것입니다.