이차 가우스 합

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Quadratic Gauss Sum

홀소수 p와 서로소인 정수 a, Primitive pth root of unity인 \\zeta에 대한 다음 꼴의 합을 말한다.

\\sum_{n=0}^{p-1} \\zeta^{a\\cdot n^2}=\\zeta^{a\\cdot0^{2}}+\\zeta^{a\\cdot1^{2}}+...+\\zeta^{a(p-1)^{2}}

목차

1. 표현
2. 르장드르 기호
3. 절댓값
3.1. g(a)
3.1.1. 증명
3.2. |g(1)|
3.2.1. 증명
4. 이차 상반법칙
5. 보기

1. 표현 _{✎ ⊖}

일반적으로 이차 가우스 합은 \\displaystyle G(k;p)=\\sum_{n=0}^{p-1} \\zeta^{k\\cdot n^2}로 표기하며, 다음과 같은 형태를 띤다.

G(k;n)=\\sum_{r=1}^n e^{2\\pi ikr^2/n}

하지만 m과 n이 서로소일 때 G(k;mn)=G(km;n)G(kn;m)이고,
p\\nmid k인 홀소수 p와 a\\geq2에 대해 G(k;p^a)=pG(k;p^{a-1})임에서

G(k;p^a)=\\begin{cases}p^{a/2}&\\text{if } a \\text{ is even}\\\\ p^{(a-1)/2}G(k;p)&\\text{if } a \\text{ is odd}\\end{cases}

가 성립하므로 p\\nmid k인 홀소수 p에 대해 G(k;p) 의 성질은 매우 중요하다.

2. 르장드르 기호 _{✎ ⊖}

이차 가우스 합은 다음과 같이 르장드르 기호로 나타낼 수 있다.

\\zeta^{a\\cdot0^{2}}+\\zeta^{a\\cdot1^{2}}+...+\\zeta^{a\\cdot(p-1)^{2}}

=1+2\\sum_{n\\in QR}^{ }\\zeta^{an} (QR: 이차 잉여, QNR: 이차 비잉여)
=1+(\\sum_{n\\in QR}^{ }\\zeta^{an}+\\sum_{n\\in QR}^{ }\\zeta^{an})+(\\sum_{n\\in QNR}^{ }\\zeta^{an}-\\sum_{n\\in QNR}^{ }\\zeta^{an})
=(\\sum_{n\\in QR}^{ }\\zeta^{an}-\\sum_{n\\in QNR}^{ }\\zeta^{an})+(1+\\sum_{n\\in QR}^{ }\\zeta^{an}+\\sum_{n\\in QNR}^{ }\\zeta^{an})
=(\\sum_{n\\in QR}^{ }1\\cdot \\zeta^{an}-\\sum_{n\\in QNR}^{ }(-1)\\cdot \\zeta^{an})+\\sum_{n=0}^{p-1}\\zeta^{an}
=\\sum_{n=1}^{p-1}\\left(\\frac{n}{p}\\right)\\zeta^{an}

3. 절댓값 _{✎ ⊖}

g(a) = \\zeta^{a\\cdot0^{2}}+\\zeta^{a\\cdot1^{2}}+...+\\zeta^{a(p-1)^{2}} =\\sum_{n=1}^{p-1}\\left(\\frac{n}{p}\\right)\\zeta^{an} 이라고 하자.

\\left(\\frac{a}{p}\\right) g(a) = \\left(\\frac{a}{p}\\right)\\sum_{n=1}^{p-1}\\left(\\frac{n}{p}\\right)\\zeta^{an} = \\sum_{n=1}^{p-1}\\left(\\frac{an}{p}\\right)\\zeta^{an} = \\sum_{l=1}^{p-1}\\left(\\frac{l}{p}\\right)\\zeta^{l} = g(1)

\\left(\\frac{a}{p}\\right)\\left(\\frac{a}{p}\\right)g(a) = \\left(\\frac{a}{p}\\right) g(1)

\\therefore g(a) = \\left(\\frac{a}{p}\\right) g(1)

3.2. |g(1)| _{✎ ⊖}

|g(1)| = \\sqrt{(-1)^{\\frac{p-1}{2}}p}

3.2.1. 증명 _{✎ ⊖}

\\sum_{a=0}^{p-1}g(a)g(-a) 의 값을 두 가지 방법으로 구해 보자.

\\textup{(i)} \\sum_{a=0}^{p-1}g(a)g(-a) = \\sum_{a=0}^{p-1}\\left(\\frac{a}{p}\\right)g(1)\\cdot\\left(\\frac{-a}{p}\\right)g(1)

= \\sum_{a=1}^{p-1}\\left(\\frac{-1}{p}\\right)\\{g(1)\\}^{2}
= (p-1)\\left(\\frac{-1}{p}\\right)\\{g(1)\\}^{2}

\\textup{(ii)} \\sum_{a=0}^{p-1}g(a)g(-a)

= \\sum_{a=0}^{p-1}(\\sum_{n=1}^{p-1}\\left(\\frac{n}{p}\\right)\\zeta^{an}\\cdot\\sum_{n=1}^{p-1}\\left(\\frac{m}{p}\\right)\\zeta^{am})
= \\sum_{a=0}^{p-1}\\sum_{n=1}^{p-1}\\sum_{m=1}^{p-1}\\left(\\frac{n}{p}\\right)\\left(\\frac{m}{p}\\right)\\zeta^{a(n-m)}
= \\sum_{n=1}^{p-1}\\sum_{m=1}^{p-1}\\left(\\frac{n}{p}\\right)\\left(\\frac{m}{p}\\right)\\sum_{a=0}^{p-1}\\zeta^{a(n-m)}
= \\sum_{n=1}^{p-1}\\sum_{1\\leq m\\leq p-1, m\\neq n}^{ }\\left(\\frac{n}{p}\\right)\\left(\\frac{m}{p}\\right)\\sum_{a=0}^{p-1}\\zeta^{a(n-m)}+\\sum_{n=1}^{p-1}\\sum_{1\\leq m\\leq p-1, m=n}^{ }\\left(\\frac{n}{p}\\right)\\left(\\frac{m}{p}\\right)\\sum_{a=0}^{p-1}\\zeta^{a(n-m)}
= 0 +\\sum_{n=1}^{p-1}\\sum_{m=n}^{ }\\left(\\frac{m}{p}\\right)\\left(\\frac{m}{p}\\right)\\sum_{a=0}^{p-1}1
= 0 +\\sum_{n=1}^{p-1}p
= p(p-1)

\\textup{(i), (ii)}에서

(p-1)\\left(\\frac{-1}{p}\\right)\\{g(1)\\}^{2} = p(p-1)

\\{g(1)\\}^{2} = \\left(\\frac{-1}{p}\\right)p = (-1)^{\\frac{p-1}{2}}p

\\therefore |g(1)| = \\sqrt{(-1)^{\\frac{p-1}{2}}p}

g(1)의 부호를 정하는 것은 그 절댓값을 구하는 것보다 훨씬 어려운 문제이다.

4. 이차 상반법칙 _{✎ ⊖}

아래와 같은 방법으로 이차 상반법칙을 증명할 수 있다.

g(a) = \\zeta^{a\\cdot0^{2}}+\\zeta^{a\\cdot1^{2}}+...+\\zeta^{a(p-1)^{2}} =\\sum_{n=1}^{p-1}\\left(\\frac{n}{p}\\right)\\zeta^{an} 이라고 하자. p와 서로소인 홀소수 q에 대해 \\{g(1)\\}^{q}를 두 가지 방법으로 정리하자.

\\textup{(i)}\\ \\{g(1)\\}^{q} = \\{ \\sum_{n=1}^{p-1}\\left(\\frac{n}{p}\\right)\\zeta^{n} \\} ^{q}

\\equiv \\sum_{n=1}^{p-1}\\{\\left(\\frac{n}{p}\\right)\\zeta^{n}\\} ^{q} = \\sum_{n=1}^{p-1}\\left(\\frac{n}{p}\\right) ^{q}\\zeta^{nq} = \\sum_{n=1}^{p-1}\\left(\\frac{n}{p}\\right) \\zeta^{nq}
= \\sum_{n=1}^{p-1}\\left(\\frac{q}{p}\\right)\\left(\\frac{q}{p}\\right)\\left(\\frac{n}{p}\\right) \\zeta^{nq} = \\left(\\frac{q}{p}\\right)\\sum_{n=1}^{p-1}\\left(\\frac{nq}{p}\\right)\\zeta^{nq}
= \\left(\\frac{q}{p}\\right)\\sum_{l=1}^{p-1}\\left(\\frac{l}{p}\\right)\\zeta^{l} = \\left(\\frac{q}{p}\\right)g(1) \\; (mod\\; q)

\\textup{(ii)}\\ \\{g(1)\\}^{q} = g(1)\\cdot[\\{g(1)\\}^{2}]^{ \\frac{q-1}{2} }

= g(1)\\cdot\\{(-1)^{\\frac{p-1}{2}}p\\}^{ \\frac{q-1}{2} }
= g(1)\\cdot(-1)^{\\frac{p-1}{2}\\frac{q-1}{2}}p^{ \\frac{q-1}{2} }
\\equiv g(1)\\cdot(-1)^{\\frac{p-1}{2}\\frac{q-1}{2}}\\left(\\frac{p}{q}\\right)\\; (mod\\; q)

\\textup{(i), (ii)}에서

\\left(\\frac{q}{p}\\right)g(1) \\equiv g(1)\\cdot(-1)^{\\frac{p-1}{2}\\frac{q-1}{2}}\\left(\\frac{p}{q}\\right) \\; (mod\\; q)

\\left(\\frac{q}{p}\\right) \\equiv (-1)^{\\frac{p-1}{2}\\frac{q-1}{2}}\\left(\\frac{p}{q}\\right) \\; (mod\\; q)

\\left(\\frac{p}{q}\\right)\\left(\\frac{q}{p}\\right) \\equiv (-1)^{\\frac{p-1}{2}\\frac{q-1}{2}} \\; (mod\\; q)

\\therefore \\left(\\frac{p}{q}\\right)\\left(\\frac{q}{p}\\right) = (-1)^{\\frac{p-1}{2}\\frac{q-1}{2}}\\; \\; (\\because \\left(\\frac{p}{q}\\right), \\left(\\frac{q}{p}\\right), (-1)^{\\frac{p-1}{2}\\frac{q-1}{2}} \\in \\{1, -1\\})

따라서 이차 상반법칙이 증명된다.

5. 보기 _{✎ ⊖}

가우스 합 G(\\chi)=\\tau(\\chi)=\\tau_\\chi

1. 표현 _{✎ ⊖}

2. 르장드르 기호 _{✎ ⊖}

3. 절댓값 _{✎ ⊖}

3.1. g(a) _{✎ ⊖}

3.1.1. 증명 _{✎ ⊖}

3.2. |g(1)| _{✎ ⊖}

3.2.1. 증명 _{✎ ⊖}

4. 이차 상반법칙 _{✎ ⊖}

5. 보기 _{✎ ⊖}

이차 가우스 합

1. 표현 ✎ ⊖

2. 르장드르 기호 ✎ ⊖

3. 절댓값 ✎ ⊖

3.1. g(a) ✎ ⊖

3.1.1. 증명 ✎ ⊖

3.2. |g(1)| ✎ ⊖

3.2.1. 증명 ✎ ⊖

4. 이차 상반법칙 ✎ ⊖

5. 보기 ✎ ⊖

1. 표현 _{✎ ⊖}

2. 르장드르 기호 _{✎ ⊖}

3. 절댓값 _{✎ ⊖}

3.1. g(a) _{✎ ⊖}

3.1.1. 증명 _{✎ ⊖}

3.2. |g(1)| _{✎ ⊖}

3.2.1. 증명 _{✎ ⊖}

4. 이차 상반법칙 _{✎ ⊖}

5. 보기 _{✎ ⊖}