정적분 (편집) (8) - 시드위키

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==== 중점 ====
><math>S' = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n}\Delta x f(c_i)</math>   (단, <math> c_i = \displaystyle \frac{x_i + x_{i-1}}{2}</math>)

상합에서 하합을 뺀 <math>\bar S-\underline S </math>를 생각해보자. 양수 <math>\epsilon</math>을 <math>\max\{M_i-m_i\}</math>로 잡으면

><math>\displaystyle\bar S-\underline S \leq \epsilon(\sum_{k=1}^n \Delta x_k)  = \epsilon(b-a) </math>
이제 <math>n\to\infty, \ \Delta x_i\to 0</math>이 되도록 <math>x_i</math>를 잡으면 구간 <math>[x_{i-1}, x_i]</math>에서 <math> M_i - m_i \to 0</math>, 즉 <math>\epsilon\to 0</math>이다.

><math>\therefore \displaystyle\lim_{n\to\infty}(\bar {S} - \underline S ) = 0</math>

면적 S에 대해 <math>\displaystyle\underline S \leq S \leq \bar S</math>이고 <math>0 \leq S-\underline S \leq \bar S-\underline S</math>, 또한 <math>\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\bar {S} - \underline S ) = 0</math>이므로 부등식 사이 식들을 극한을 씌우면

><math>\displaystyle 0 \leq \lim_{n\to\infty}(S-\underline S) \leq \lim_{n\to\infty}(\bar S-\underline S)=0</math>

[[샌드위치 정리]]에 의해 <math>\displaystyle S = \lim_{n\to\infty}\underline S = \lim_{n\to\infty}\bar S</math>

또한 <math>\underline S \leq S' \leq \bar S</math>이므로 [[샌드위치 정리]]에 의해 <math>\displaystyle S = {n\to\infty}S'</math>이다.

이제 좌·우측분점을 기준으로 했을 때의 결과와 같이 보면,

><math>\displaystyle\underline S \leq \underline S' \leq S' \leq \bar S' \leq \bar S</math>이므로 
><math>\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}\underline S' = \lim_{n\to\infty}\bar S'</math>이다.

결론적으로, 좌·우측 분점이나 최대·최솟점, 중점을 기준으로 했을 때의 결과가 면적 S의 값으로 모두 같다. 많이 이용하는 방법은 우측 분점의 경우나 <math>n</math>을 무한대로 보내지 못할 때 중점을 기준으로 하는 경우가 많다.

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