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定積分 / Definite Integral
대략 곡선 y=f(x) 아래의 넓이를 구하는 과정을 말한다. 많은 초등 미적분학 교재에서는 실수선 위의 리만 적분을 가리켜서 정적분이라 부른다.
1. 역사 ✎ ⊖
고대 그리스의 수학자 아르키메데스는 도형의 면적 등을 구할 때에 정적분과 비슷한 방법을 사용하였다고 한다. 아르키메데스는 원 등의 평면도형이나 구 등의 입체도형을 구분구적법을 이용하여 구하였다고 한다.
2. 개요 ✎ ⊖
y=f(x)의 그래프와 직교좌표축 x축과 math>y</math>축을 생각해보자.
이 곡선과 x축, x=a, x=b로 둘러싸인 면적의 넓이를 구하기 위해 (a, b) 를 n개로 나누어 분점을 각각
이라 하자. 이때 균등분할과 불균등분할이 있다.
이 곡선과 x축, x=a, x=b로 둘러싸인 면적의 넓이를 구하기 위해 (a, b) 를 n개로 나누어 분점을 각각
a=x_0<x_1<\\cdots<x_{n-1}<x_n=b
이라 하자. 이때 균등분할과 불균등분할이 있다.
2.1. 균등분할 ✎ ⊖
비교적 쉽다. 하지만 일반적이지 않다.
이때의 x_i는 a+i\\Delta x이고, \\Delta x = \\displaystyle \\frac{b-a}{n}이다. (단, 0\\leq i\\leq n)
이때의 x_i는 a+i\\Delta x이고, \\Delta x = \\displaystyle \\frac{b-a}{n}이다. (단, 0\\leq i\\leq n)
2.1.1. 우측분점 ✎ ⊖
우측분점을 기준으로 분할하여 면적 S를 여러개의 직사각형으로 나누면 왼쪽의 그림과 같은 모양이 된다.
왼쪽에서의 i번째 직사각형인 \\bar {S'_i}의 넓이를 구하면
\\bar {S'_i} = \\Delta x f(x_i)
가 되고 이 방법을 이용하여 면적의 합을 구하면
가 된다. 이때 분점의 수, 즉 n의 값을 발산시켜 버리면 직사각형들이 모여 매끄러운 곡선의 모양이 될 것이다.
\\bar S'=\\lim_{n\\to\\infty} \\sum_{i=1}^n \\Delta x f(x_i)
왼쪽에서의 i번째 직사각형인 \\bar {S'_i}의 넓이를 구하면
\\bar {S'_i} = \\Delta x f(x_i)
가 되고 이 방법을 이용하여 면적의 합을 구하면
\\bar S'=\\sum_{i=1}^n \\Delta x f(x_i)
가 된다. 이때 분점의 수, 즉 n의 값을 발산시켜 버리면 직사각형들이 모여 매끄러운 곡선의 모양이 될 것이다.
\\bar S'=\\lim_{n\\to\\infty} \\sum_{i=1}^n \\Delta x f(x_i)
2.1.2. 좌측분점 ✎ ⊖
이번엔 좌측분점을 기준으로 하여 면적 S를 나누어 보자.
왼쪽에서의 i번째 직사각형인 \\underline{S'_i}의 넓이를 구하면
\\underline{S'_i} = \\Delta x f(x_{i-1})
가 되어 면적 \\underline{S'} = \\lim_{n\\to\\infty} \\sum_{i=1}^{n}\\Delta x f(x_{i-1})가 될 것이다.
하지만 위의 두 경우는 함수에 따라 대소가 달라지기 때문에 쓰기가 모호하다. 이 방법은 모든 경우의 합이 같음을 보인 후에 문제 풀이로서 많이 쓰인다.
왼쪽에서의 i번째 직사각형인 \\underline{S'_i}의 넓이를 구하면
\\underline{S'_i} = \\Delta x f(x_{i-1})
가 되어 면적 \\underline{S'} = \\lim_{n\\to\\infty} \\sum_{i=1}^{n}\\Delta x f(x_{i-1})가 될 것이다.
하지만 위의 두 경우는 함수에 따라 대소가 달라지기 때문에 쓰기가 모호하다. 이 방법은 모든 경우의 합이 같음을 보인 후에 문제 풀이로서 많이 쓰인다.
2.1.3. 최대(상합) ✎ ⊖
M_i를 [x_{i-1}, x_i] 중 가장 큰 극댓점으로 놓자. 이 점을 기준으로 한 면적 S의 상합은
\\bar S = \\lim_{n\\to\\infty} \\sum_{i=1}^n \\Delta x f(M_i)
2.1.4. 최소(하합) ✎ ⊖
최소 역시 비슷한 방법이다. m_i를 [x_{i-1}, x_{i}] 중 가장 작은 극소로 놓으면 하합은
\\underline S = \\lim_{n\\to\\infty} \\sum_{i=1}^n \\Delta x f(m_i)
2.1.5. 중점 ✎ ⊖
S' = \\lim_{n\\to\\infty} \\sum_{i=1}^{n}\\Delta x f(c_i) (단, c_i = \\displaystyle \\frac{x_i + x_{i-1}}{2})
상합에서 하합을 뺀 \\bar S-\\underline S 를 생각해보자. 양수 \\epsilon을 \\max\\{M_i-m_i\\}로 잡으면
\\displaystyle\\bar S-\\underline S \\leq \\epsilon(\\sum_{k=1}^n \\Delta x_k) = \\epsilon(b-a)
이제 n\\to\\infty, \\ \\Delta x_i\\to 0이 되도록 x_i를 잡으면 구간 [x_{i-1}, x_i]에서 M_i - m_i \\to 0, 즉 \\epsilon\\to 0이다.
\\therefore \\displaystyle\\lim_{n\\to\\infty}(\\bar {S} - \\underline S ) = 0
면적 S에 대해 \\displaystyle\\underline S \\leq S \\leq \\bar S이고 0 \\leq S-\\underline S \\leq \\bar S-\\underline S, 또한 \\displaystyle\\lim_{n\\to\\infty}(\\bar {S} - \\underline S ) = 0이므로 부등식 사이 식들을 극한을 씌우면
\\displaystyle 0 \\leq \\lim_{n\\to\\infty}(S-\\underline S) \\leq \\lim_{n\\to\\infty}(\\bar S-\\underline S)=0
샌드위치 정리에 의해 \\displaystyle S = \\lim_{n\\to\\infty}\\underline S = \\lim_{n\\to\\infty}\\bar S
또한 \\underline S \\leq S' \\leq \\bar S이므로 샌드위치 정리에 의해 \\displaystyle S = {n\\to\\infty}S'이다.
이제 좌·우측분점을 기준으로 했을 때의 결과와 같이 보면,
\\displaystyle\\underline S \\leq \\underline S' \\leq S' \\leq \\bar S' \\leq \\bar S이므로
\\displaystyle S=\\lim_{n\\to\\infty}\\underline S' = \\lim_{n\\to\\infty}\\bar S'이다.
결론적으로, 좌·우측 분점이나 최대·최솟점, 중점을 기준으로 했을 때의 결과가 면적 S의 값으로 모두 같다. 많이 이용하는 방법은 우측 분점의 경우나 n을 무한대로 보내지 못할 때 중점을 기준으로 하는 경우가 많다.
3. 오해 ✎ ⊖
많은 사람들이 부정적분을 이용해서 정적분이 정의된다고 생각하지만, 이는 잘못이다. 정적분과 부정적분의 연관성은 정의에 의해서 주어지는 것이 아니라 미적분학의 기본정리에 의해서 보장되는 것이다.
