약콤팩트 기수 (원본) (1)

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Weakly compact cardinal

큰 기수의 일종이다. 

== 정의 ==
약컴팩트 기수는 다음을 만족하는 비가산 기수로 정의된다:

[math(\kappa\to (\kappa)^2_2)]

즉, 농도 [math(\kappa)]인 점들의 집합이 주어져 있고 각 점을 모두 연결한 완전 그래프 [math(K_\kappa)]의 각 변을 흰색 혹은 검은색으로 칠했을 때, [math(\kappa)]개의 점들의 집합 [math(H)]가 있어 [math(H)]상의 점들끼리 이은 선분이 항상 같은 색깔을 갖게 할 수 있다는 것을 말한다.

무한 램지 정리에 의해 [math(\kappa=\omega)]인 경우 위 정리가 성립하나, [math(\omega)]는 가산이므로 약컴팩트 기수로 취급하지 않는다.

== 성질 ==
[math(\kappa)]가 약컴팩트 기수이면 [math(\kappa)] 또한 무한 램지 정리와 비슷한 정리를 만족시킨다 : 임의의 [math(m<\kappa)]와 자연수 [math(n)]에 대해

[math(\kappa \to (\kappa)^n_m)]

이 성립한다. 

또한 [math(\kappa)]는 약한 쾨니히의 정리와 비슷한 정리 또한 만족시킨다 : 농도 [math(\kappa)]이며 각 점의 차수가 [math(<\kappa)]인 트리가 주어졌다면 길이 [math(\kappa)]인 경로를 잡을 수 있다.

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]