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감마 함수(Gamma function)는 양이 아닌 정수들을 제외한 모든 복소수 위에서 정의되는 특수 함수 중 하나이다. 감마 함수는 팩토리얼의 자연스러운 확장이기도 하다.
1. 정의 ✎ ⊖
감마함수는 다음과 같은 오일러 적분으로 정의된다.
\\Gamma(s) := \\int_0^\\infty t^{s-1} e^{-t} dt
위의 정의는 \\mathrm{Re} s>0일때만 유효하다. 이와 동치인 정의로, 가우스식 정의
\\Gamma(s) := \\lim_{n\\to\\infty} \\frac{n!n^s}{z(z+1)\\cdots (z+n-1)}
와 바이어슈트라스 곱 형태의 정의
\\Gamma(s) := \\frac{e^{-\\gamma s}}{s}\\prod_{n=1}^\\infty \\left( 1+\\frac{s}{n} \\right)^n e^{s/n}
가 있다. 특히 바이어슈트라스 형태의 정의는 디감마 함수의 몇몇 특수값을 구할 때 유용하다.
\\Gamma(s) := \\int_0^\\infty t^{s-1} e^{-t} dt
위의 정의는 \\mathrm{Re} s>0일때만 유효하다. 이와 동치인 정의로, 가우스식 정의
\\Gamma(s) := \\lim_{n\\to\\infty} \\frac{n!n^s}{z(z+1)\\cdots (z+n-1)}
와 바이어슈트라스 곱 형태의 정의
\\Gamma(s) := \\frac{e^{-\\gamma s}}{s}\\prod_{n=1}^\\infty \\left( 1+\\frac{s}{n} \\right)^n e^{s/n}
가 있다. 특히 바이어슈트라스 형태의 정의는 디감마 함수의 몇몇 특수값을 구할 때 유용하다.
2. 보기 ✎ ⊖
- 디감마 함수
- 베타 함수
