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위상수학에서 위상의 기저(Base, Basis)는 그 원소의 합집합으로 모든 열린 집합을 표현할 수 있는 열린 집합의 모임이다.
1. 정의 ✎ ⊖
위상구조 X에 대해 다음을 만족하는 \\mathcal B\\subset2^X를 기저라고 한다.
기저 \\mathcal B에 대해 \\mathcal B에 의해 생성된 위상 \\mathcal T(topology \\mathcal T generated by \\mathcal B)는 다음과 같이 정의된다:
- 임의의 x\\in X에 대해 B\\in\\mathcal B가 존재하여 x\\in B이다. 즉, 기저는 전체집합을 덮는다.
- 임의의 B_1,B_2\\in\\mathcal B와 x\\in B_1\\cap B_2에 대해 B_3\\in\\mathcal B가 존재하여 x\\in B_3\\subset B_1\\cap B_2이다.
기저 \\mathcal B에 대해 \\mathcal B에 의해 생성된 위상 \\mathcal T(topology \\mathcal T generated by \\mathcal B)는 다음과 같이 정의된다:
- U\\subset X가 열린 집합, 즉 U\\in\\mathcal T라는 것은 각 x\\in U에 대해 기저의 원소 B\\in\\mathcal B가 존재하여 x\\in B\\subset U인 것이다.
2. 성질 ✎ ⊖
2.1. 위상? ✎ ⊖
\\mathcal B에 의해 생성된 \\mathcal T가 실제로 위상인지에 대한 증명이 필요하다.
- \\emptyset,X\\in\\mathcal T
- \\mathcal T의 원소들로 이루어진 집합족 \\{U_\\alpha\\}_{\\alpha\\in J}에 대해, U=\\bigcup_{\\alpha\\in J}U_\\alpha를 생각하자. 임의의 x\\in U에 대해 x\\in U_\\alpha가 존재하고, U_\\alpha\\in\\mathcal T이므로 x\\in B\\subset U_\\alpha인 B\\in\\mathcal B를 잡을 수 있다. 따라서 x\\in B\\subset U이므로, U\\in\\mathcal T이다.
- U_1,U_2\\in\\mathcal T에 대해 임의의 x\\in U_1\\cap U_2를 생각하자. 그러면 x\\in U_1,U_2이므로, B_1,B_2\\in\\mathcal B가 존재하여 x\\in B_1\\subset U_1, x\\in B_2\\subset U_2이다. 따라서 x\\in B_1\\cap B_2\\subset U_1\\cap U_2이고, B_1\\cap B_2\\in\\mathcal B이므로 U_1\\cap U_2\\in\\mathcal T이다.
2.2. 위상의 다른 표현 ✎ ⊖
기저 \\mathcal B에 의해 생성된 \\mathcal T는 \\mathcal B의 원소들의 임의의 모임의 합집합과 같다. 즉 다음이 성립한다.
\\mathcal T=\\left\\{\\bigcup_{B\\in\\mathcal C}B:\\mathcal C\\subset\\mathcal B\\right\\}\\quad(=\\mathcal D)
2.2.1. 증명 ✎ ⊖
\\mathcal B\\subset\\mathcal T이고 \\mathcal T는 위상이므로 \\mathcal D\\subset \\mathcal T이다.
또한 임의의 U\\in\\mathcal T와 x\\in U에 대해 B_x\\in\\mathcal B가 존재하여 x\\in B_x\\subset U이므로, \\bigcup_{x\\in U}B_x=U이다. 따라서 \\mathcal T\\subset\\mathcal D이고, 증명이 끝났다.
또한 임의의 U\\in\\mathcal T와 x\\in U에 대해 B_x\\in\\mathcal B가 존재하여 x\\in B_x\\subset U이므로, \\bigcup_{x\\in U}B_x=U이다. 따라서 \\mathcal T\\subset\\mathcal D이고, 증명이 끝났다.
