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뇌터 가군(Noetherian module)이란 포함 관계를 순서로 하는 부분 가군의 집합이 오름 사슬 조건을 만족하는 가군을 말한다.
1. 정의 ✎ ⊖
R-가군 M이 다음의 동치 관계를 만족할 때 M을 뇌터 가군이라고 한다.
1. M의 부분 가군의 집합은 오름 사슬 조건을 만족한다.
2. 모든 공집합이 아닌 M의 부분 가군의 집합은 극대 원소를 가진다.
3. 모든M의 부분 가군은 유한 생성 가군이다.
1. M의 부분 가군의 집합은 오름 사슬 조건을 만족한다.
2. 모든 공집합이 아닌 M의 부분 가군의 집합은 극대 원소를 가진다.
3. 모든M의 부분 가군은 유한 생성 가군이다.
2. 동치 관계의 증명 ✎ ⊖
- (1)⇔(2) : 오름 사슬 조건은 극대 원소 조건과 동치이다.
- (2)⇒(3) : N을 M의 부분 가군, S를 N의 모든 유한 생성 부분 가군의 집합이라고 하자. (0)∈S이므로 S는 공집합이 아니고, 따라서 극대 원소 L을 가진다. 임의의 x∈N에 대해L+Rx는 N의 유한 생성 부분 가군이고, L은 극대 원소이므로 L+Rx=L, x∈L, N⊂L, N=L이므로 N은 유한 생성 가군이다.
- (3)⇒(1): (Mn)(n은 자연수)을 M의 부분 가군을 원소로 하는 임의의 오름 사슬이라고 하자. N=⋃Mn는 M의 부분 가군이고, 따라서 생성원 x1,x2,⋯,xm을 가진다. xj∈Mj인 최대의 자연수 j를 ni라 하고, ni 중 최대인 것을 n0이라 하면, x1,x2,⋯,xm∈Mn0, N⊂Mn0, N=Mn0이므로 사슬 (Mn)은 Mn0에서 멈추고, 오름 사슬 조건을 만족한다.
3. 뇌터 가군이 아닌 것 ✎ ⊖
- 프뤼퍼 군
- 원군
