(+)분류 : 가져온 문서/오메가
Laplace transform
적분 변환의 일종으로, 주로 미분방정식을 풀 때 사용된다. 라플라스 변환을 이용하면 초기값 조건이 주어진 미분방정식을 함수들의 대수적인 형태를 다루는 문제로 변환시킬 수 있다.
1. 정의 ✎ ⊖
f가 음이 아닌 실수들 위에서 정의된 함수일 때 그 라플라스 변환 \\mathcal{L}(f)를
로 정의한다.
\\mathcal{L}(f)(s)=\\int_0^\\infty e^{-st} f(t)dt
로 정의한다.
2. 성질 ✎ ⊖
라플라스 변환은 다음 성질들을 만족시킨다.
2.1. 선형성 ✎ ⊖
라플라스 변환은 선형 변환이다. 즉, 함수 f, g와 상수 c에 대해
- \\mathcal{L}(f+g)=\\mathcal{L}(f)+\\mathcal{L}(g)
- \\mathcal{L}(cf)=c\\mathcal{L}(f)
2.2. 진동수 이동 ✎ ⊖
\\mathcal{L}(e^{at}f)(s) = \\mathcal{L}(f)(s-a)
2.3. 시간 이동 ✎ ⊖
H(x)가 헤비사이드 단계 함수일 때
\\mathcal{L}(f(t-a)H(t-a))(s) = e^{-as}\\mathcal{L}(f)(s)
\\mathcal{L}(f(t-a)H(t-a))(s) = e^{-as}\\mathcal{L}(f)(s)
2.4. 미분과 적분 ✎ ⊖
라플라스 변환은 미분과 적분을 좀 더 단순한 형태로 변환시킨다. 가령, 만약 f가 지수 함수형이면
\\mathcal{L}(f')(s)=s\\mathcal{L}(f)(s)-f(0)
이다. 그리고 일반적으로
\\mathcal{L}\\left(\\int_0^t f(\\tau)d\\tau \\right)(s)=\\frac{1}{s} \\mathcal{L}(f)(s)
이다.
\\mathcal{L}(f')(s)=s\\mathcal{L}(f)(s)-f(0)
이다. 그리고 일반적으로
\\mathcal{L}\\left(\\int_0^t f(\\tau)d\\tau \\right)(s)=\\frac{1}{s} \\mathcal{L}(f)(s)
이다.
2.5. 라플라스 변환의 미분과 적분 ✎ ⊖
\\frac{d}{ds}\\mathcal{L}(f(t))(s)=\\mathcal{L}((-t)f(t))(s)
\\int_s^\\infty \\mathcal{L}(f(t))(\\varsigma)d\\varsigma=\\mathcal{L}(f(t)/t)(s)
\\int_s^\\infty \\mathcal{L}(f(t))(\\varsigma)d\\varsigma=\\mathcal{L}(f(t)/t)(s)
2.6. 합성곱 ✎ ⊖
(f*g)(t)=\\int_0^t f(\\tau)g(t-\\tau)d\\tau일 때
\\mathcal{L}(f*g)=\\mathcal{L}(f)\\mathcal{L}(g)
이다.
\\mathcal{L}(f*g)=\\mathcal{L}(f)\\mathcal{L}(g)
이다.
3. 변환표 ✎ ⊖
| f(t) | \\mathcal{L}(f)(s) | 수렴 영역 |
| \\delta(t+a) | e^{as} | for all s |
| t^a H(t) | \\dfrac{\\Gamma(a+1)}{s^{a+1}} | \\Re s>0, \\Re a>-1 |
| e^{at}H(t) | \\dfrac{1}{s-a} | \\Re s>a |
여기서 H(t)는 헤비사이드 단계 함수이다.
