라플라스 변환 (편집)

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Laplace transform

적분 변환의 일종으로, 주로 미분방정식을 풀 때 사용된다. 라플라스 변환을 이용하면 초기값 조건이 주어진 미분방정식을 함수들의 대수적인 형태를 다루는 문제로 변환시킬 수 있다.

== 정의 ==
[math(f)]가 음이 아닌 실수들 위에서 정의된 함수일 때 그 라플라스 변환 [math(\mathcal{L}(f))]를

>[math(\mathcal{L}(f)(s)=\int_0^\infty e^{-st} f(t)dt)]

로 정의한다.

== 성질 ==
라플라스 변환은 다음 성질들을 만족시킨다.

=== 선형성 ===
라플라스 변환은 선형 변환이다. 즉, 함수 [math(f)], [math(g)]와 상수 [math(c)]에 대해

* [math(\mathcal{L}(f+g)=\mathcal{L}(f)+\mathcal{L}(g))]
* [math(\mathcal{L}(cf)=c\mathcal{L}(f))]

=== 진동수 이동 ===
[math( \mathcal{L}(e^{at}f)(s) = \mathcal{L}(f)(s-a))]

=== 시간 이동 ===
[math(H(x))]가 헤비사이드 단계 함수일 때

[math( \mathcal{L}(f(t-a)H(t-a))(s) = e^{-as}\mathcal{L}(f)(s))]

=== 미분과 적분 ===
라플라스 변환은 미분과 적분을 좀 더 단순한 형태로 변환시킨다. 가령, 만약 [math(f)]가 지수 함수형이면

[math(\mathcal{L}(f')(s)=s\mathcal{L}(f)(s)-f(0))]

이다. 그리고 일반적으로

[math(\mathcal{L}\left(\int_0^t f(\tau)d\tau \right)(s)=\frac{1}{s} \mathcal{L}(f)(s))]

이다.

=== 라플라스 변환의 미분과 적분 ===
[math(\frac{d}{ds}\mathcal{L}(f(t))(s)=\mathcal{L}((-t)f(t))(s))]
[math(\int_s^\infty \mathcal{L}(f(t))(\varsigma)d\varsigma=\mathcal{L}(f(t)/t)(s))]

=== 합성곱 ===
[math((f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau)]일 때

[math(\mathcal{L}(f*g)=\mathcal{L}(f)\mathcal{L}(g))]

이다.

== 변환표 ==
|| [math(f(t))] || [math(\mathcal{L}(f)(s))] || 수렴 영역 ||
|| [math(\delta(t+a))] || [math(e^{as})] || for all [math(s)] ||
|| [math(t^a H(t))] || [math(\dfrac{\Gamma(a+1)}{s^{a+1}})] || [math(\Re s>0)], [math(\Re a>-1)] ||
|| [math(e^{at}H(t))] || [math(\dfrac{1}{s-a})] || [math(\Re s>a)] ||

여기서 [math(H(t))]는 헤비사이드 단계 함수이다.

== 영상 ==
[youtube(x1ldtSIVMqw)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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