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Lebesgue dominated convergence theorem
적분의 수렴과 관계된 정리이다.
1. 진술 ✎ ⊖
X가 가측공간이고 \\mu가 X의 측도이고 X에서 \\Bbb{R}로 가는 적분가능한 함수열 f_n이 수렴하면서 g\\in L^1(\\mu)이 있어서 |f_n|\\le g이면 f\\in L^1(\\mu)이고
\\lim_{n\\to\\infty}\\int_{X}f_n\\,\\mathrm{d}\\mu=\\int_{X}f\\,\\mathrm{d}\\mu
이다.
\\lim_{n\\to\\infty}\\int_{X}f_n\\,\\mathrm{d}\\mu=\\int_{X}f\\,\\mathrm{d}\\mu
이다.
2. 증명 ✎ ⊖
먼저 2g-|f_n-f|\\ge 0이므로 파투의 보조정리에 의해
\\liminf_{n\\to \\infty}\\int_{X}2g-|f-f_n|\\,\\mathrm{d}\\mu\\ge \\int_{X}2g-\\liminf_{n\\to \\infty}|f-f_n|\\,\\mathrm{d}\\mu
이고 그러므로 정리하면
\\limsup_{n\\to \\infty}\\int_{X}|f-f_n|\\,\\mathrm{d}\\mu\\le 0
이 되므로 증명이 끝난다.
\\liminf_{n\\to \\infty}\\int_{X}2g-|f-f_n|\\,\\mathrm{d}\\mu\\ge \\int_{X}2g-\\liminf_{n\\to \\infty}|f-f_n|\\,\\mathrm{d}\\mu
이고 그러므로 정리하면
\\limsup_{n\\to \\infty}\\int_{X}|f-f_n|\\,\\mathrm{d}\\mu\\le 0
이 되므로 증명이 끝난다.
