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Fundamental Theorem of Calculus
미적분학의 가장 기본이 되는 정리이다. 미적분학의 기본 정리에는 다음의 두 가지가 있다.
- 미적분학의 기본 정리 I - 정적분을 부정적분의 차로 나타낼 수 있음.
- 미적분학의 기본 정리 II - 미분과 정적분의 관계
1. 미적분학의 기본 정리 I ✎ ⊖
Fundamental Theorem of Calculus I
전혀 관계가 없던 정적분과 부정적분을 이어주는 정리로써, 이 정리로 인해 정적분 계산이 더 편해졌다.
전혀 관계가 없던 정적분과 부정적분을 이어주는 정리로써, 이 정리로 인해 정적분 계산이 더 편해졌다.
1.1. 내용 ✎ ⊖
미적분학의 기본 정리 I은 다음을 말한다.
만약 [a, b]에서 f가 연속이고 F가 f의 부정적분이면 \\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)=\\left[\\int f(x)dx\\right]_a^b 이다.
1.2. 증명 ✎ ⊖
구간 [a, b]를 n개의 구간으로 분할하여 보자.
a=x_0<x_1<\\cdots<x_n=b
에서
F(b)-F(a)
를 생각해 보면
F(x_n)-F(x_0)
= [F(x_n)-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})-F(x_{n-2})]+\\cdots+[F(x_1)-F(x_{0})]
= \\displaystyle\\sum_{k=1}^n [F(x_k)-F(x_{k-1})]
이고 \\exists F'=f이므로 F는 (a, b)에서 미분 가능이고, [a, b]에서 연속이다.
각 부분 구간 [x_{k-1}, x_k]에서 평균값 정리를 이용하면
\\exists c_k \\in [x_{k-1}, x_k], \\ F(x_k)-F(x_{k-1}) = F'(c_k)(x_k-x_{k-1}) = f(c_k)\\Delta x_k
이다. 따라서 \\displaystyle F(b)-F(a)= \\sum_{k=1}^n f(c_k)\\Delta x_k
이고, 양변에 n이 무한대로 가는 극한을 취해주면
\\lim_{n\\to\\infty} [F(b)-F(a)]=\\lim_{n\\to\\infty} \\sum_{k=1}^n f(c_k)\\Delta x_k = \\int_a^b f(x)dx
이다. ■
a=x_0<x_1<\\cdots<x_n=b
에서
F(b)-F(a)
를 생각해 보면
F(x_n)-F(x_0)
= [F(x_n)-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})-F(x_{n-2})]+\\cdots+[F(x_1)-F(x_{0})]
= \\displaystyle\\sum_{k=1}^n [F(x_k)-F(x_{k-1})]
이고 \\exists F'=f이므로 F는 (a, b)에서 미분 가능이고, [a, b]에서 연속이다.
각 부분 구간 [x_{k-1}, x_k]에서 평균값 정리를 이용하면
\\exists c_k \\in [x_{k-1}, x_k], \\ F(x_k)-F(x_{k-1}) = F'(c_k)(x_k-x_{k-1}) = f(c_k)\\Delta x_k
이다. 따라서 \\displaystyle F(b)-F(a)= \\sum_{k=1}^n f(c_k)\\Delta x_k
이고, 양변에 n이 무한대로 가는 극한을 취해주면
\\lim_{n\\to\\infty} [F(b)-F(a)]=\\lim_{n\\to\\infty} \\sum_{k=1}^n f(c_k)\\Delta x_k = \\int_a^b f(x)dx
이다. ■
2. 미적분학의 기본 정리 II ✎ ⊖
Fundamental Theorem of Calculus II
미분과 정적분이 서로 역관계에 있다는 정리이다. 미분은 순간변화율을 계산하기 위해서, 정적분은 면적을 구하기 위해서 시작했지만, 이 정리로 연관이 있다는 것을 알 수 있다.
미분과 정적분이 서로 역관계에 있다는 정리이다. 미분은 순간변화율을 계산하기 위해서, 정적분은 면적을 구하기 위해서 시작했지만, 이 정리로 연관이 있다는 것을 알 수 있다.
2.1. 내용 ✎ ⊖
미적분학의 기본 정리 II는 다음을 말한다.
만약 [a, b]에서 f가 연속이고 F(x) = \\int_a^x f(t)dt라 하면 [a, b]에서 F'(x) = f(x)이다.
2.2. 증명 ✎ ⊖
도함수의 정의를 이용해 F의 도함수를 구해보자.
\\\\ F'(x) \\\\ \\\\ = \\lim_{h\\to 0} \\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \\\\ \\\\ = \\lim_{h\\to 0} \\frac{1}{h}\\left[\\int_a^{x+h} f(t)dt - \\int_a^{x} f(t)dt \\right]\\\\ \\\\ =\\lim _{h\\to 0} \\frac{1}{h}\\int_{x}^{x+h} f(t)dt
구간 [x, x+h]에서 f가 연속이므로 적분의 평균값 정리를 이용하면
\\exists c\\in[x, x+h], \\ \\frac{1}{h}\\int_{x}^{x+h} f(t)dt =f(c)
이다. 양변에 극한을 씌워주면
F'(x) = \\lim_{h\\to 0} \\frac{1}{h}\\int_{x}^{x+h} f(t)dt = \\lim_{h\\to 0} f(c)=f(x)
이다. ■
\\\\ F'(x) \\\\ \\\\ = \\lim_{h\\to 0} \\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \\\\ \\\\ = \\lim_{h\\to 0} \\frac{1}{h}\\left[\\int_a^{x+h} f(t)dt - \\int_a^{x} f(t)dt \\right]\\\\ \\\\ =\\lim _{h\\to 0} \\frac{1}{h}\\int_{x}^{x+h} f(t)dt
구간 [x, x+h]에서 f가 연속이므로 적분의 평균값 정리를 이용하면
\\exists c\\in[x, x+h], \\ \\frac{1}{h}\\int_{x}^{x+h} f(t)dt =f(c)
이다. 양변에 극한을 씌워주면
F'(x) = \\lim_{h\\to 0} \\frac{1}{h}\\int_{x}^{x+h} f(t)dt = \\lim_{h\\to 0} f(c)=f(x)
이다. ■
2.3. 또 다른 증명 ✎ ⊖
이번엔 미적분학의 기본 정리 I 을 이용해보자.
\\underline F(x) = \\int f(x)dx
라 하면
F(x) = \\int_a^x f(t)dt = \\underline F(x)-\\underline F(a)
이고,
\\frac{d}{dx}F(x) = \\frac{d}{dx}( \\underline F(x)-\\underline F(a)) = f(x)
이다. ■
\\underline F(x) = \\int f(x)dx
라 하면
F(x) = \\int_a^x f(t)dt = \\underline F(x)-\\underline F(a)
이고,
\\frac{d}{dx}F(x) = \\frac{d}{dx}( \\underline F(x)-\\underline F(a)) = f(x)
이다. ■
2.4. 따름정리 ✎ ⊖
다음의 두가지 따름정리가 성립한다.
- \\frac{d}{dx}\\int_{a}^{g(x)} f(t)dt = f(g(x))g'(x)
- \\frac{d}{dx}\\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt = f(g(x))g'(x) -f(h(x))h'(x)
