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양항급수의 수렴발산을 판정하는 방법의 하나로써 야콥 베르누이가 만든 것이다.
1. 진술 ✎ ⊖
0\\le a_{ n }\\le b_{ n }일 때, 급수 \\sum b_{ n }이 수렴하면 급수 \\sum a_{ n }이 수렴하며, 급수 \\sum a_{ n }이 발산하면 급수 \\sum b_{ n }이 발산한다.
2. 증명 ✎ ⊖
우선 수렴하는 급수 \\sum { b_n }의 합을 B로 두면, 임의의 n에 대하여
이다. 그러므로 수열
은 위로 유계인 증가수열이다. 따라서 실수의 완비성으로부터 그 극한값이 존재한다.
\\\\ a_{ 1 }+a_{ 2 }+....+a_{ n }\\le b_{ 1 }+b_{ 2 }+...+b_{ n }\\le B
이다. 그러므로 수열
s_{ n }:=a_{ 1 }+a_{ 2 }+...+a_{ n }(n=1,2,3...)
은 위로 유계인 증가수열이다. 따라서 실수의 완비성으로부터 그 극한값이 존재한다.
