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サイクロイド / Cycloid
직선 위를 구르는 원의 원주 위의 정점의 자취이다.
1. 설명 ✎ ⊖
단위원의 중심의 자취를 (t, 1)이라고 하자. 그러면 (0, 0)에서 시작된 원 위의 정점은
를 지나고, 이 자취는 단위원의 사이클로이드가 되며, 주기는 2\\pi이다.
그러므로 반지름이 r인 원의 사이클로이드는 다음과 같은 방정식으로 나타낼 수 있다
(t-\\sin t, 1-\\cos t)
를 지나고, 이 자취는 단위원의 사이클로이드가 되며, 주기는 2\\pi이다.
그러므로 반지름이 r인 원의 사이클로이드는 다음과 같은 방정식으로 나타낼 수 있다
x=r(t-\\sin t)\\\\y=r(1-\\cos t)
2. 길이 ✎ ⊖
단위원의 사이클로이드의 한 마디의 길이를 구하자. 정점의 자취를 \\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{dt}}로 미분하면
스칼라량으로 전환하면
\\mathrm{dt}로 적분하면
(1-\\cos t, \\sin t)
스칼라량으로 전환하면
\\sqrt{(1-\\cos t )^2 + (\\sin^2 t)} = 2|\\sin\\frac{t}{2}|
\\mathrm{dt}로 적분하면
\\int _{0} ^{2\\pi} 2|\\sin\\frac{t}{2}|\\mathrm{dt} = 8 로 원의 지름의 네 배이다.
3. 넓이 ✎ ⊖
단위원의 사이클로이드의 한 마디와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는
\\int _{0} ^{2\\pi} (1-\\cos t) \\frac{\\mathrm{dx}}{\\mathrm{dt}} \\mathrm{dt} = \\int _{0} ^{2\\pi} (1-\\cos t)^2 \\mathrm{dt} = 3\\pi 로 원의 넓이의 세 배이다.
4. 보기 ✎ ⊖
- 트로코이드
