삼각함수

三角函數 / Trigonometric function

직각삼각형에서 직각이 아닌 한 각에 대해 어느 두 변의 비를 나타내는 초월함수이다.

목차

1. 단위원을 이용한 정의
2. 부호
3. 성질
3.1. 단위원의 방정식
3.2. 덧셈정리
3.3. 합성
3.3.1. 증명
3.4. 도함수
3.5. 부정적분
4. 삼각형의 성질
4.1. 사인법칙
4.1.1. 증명
4.2. 제일코사인법칙
4.2.1. 증명
4.3. 제이코사인법칙
4.3.1. 증명
5. 순허수에 대한 삼각함수
5.1. 쌍곡함수와의 관계
6. 영상

1. 단위원을 이용한 정의 _{✎ ⊖}

단위원 x^2+y^2=1 위의 한 점 P(a, b)를 잡으면 x축과 \\overline{\\mathrm{OP}}가 이루는 각(Angle) \\theta\\mathrm{rad} 에 대해 각 삼각함수를 다음과 같이 정의할 수 있다:

사인(Sine)

\\sin \\theta = b

코사인(Cosine)

\\cos \\theta =a

탄젠트(Tangent)

\\tan \\theta =\\frac{b}{a}

코시컨트(Cosecant)

\\csc \\theta\\ = \\frac{1}{\\sin\\theta}=\\frac{1}{b} \\ (= \\mathrm{cosec} \\theta)

시컨트(Secant)

\\sec \\theta= \\frac{1}{\\cos\\theta} =\\frac{1}{a}

코탄젠트(Cotangent)

\\cot \\theta= \\frac{1}{\\tan\\theta} =\\frac{a}{b}

P에서 x축으로 수선을 그어 직각삼각형을 만들면, 각 삼각함수는 \\theta에 대해 직각삼각형의 어느 두 변의 비를 나타냄을 알 수 있다. 참고로, 각 \\theta 의 크기는 호 \\mathrm{AP}의 길이와 같다. 각 삼각함수는 \\theta 를 정의역, 그 값을 치역으로 하여 y=\\sin x 와 같은 함수로 표현되는데, 일반적으로 이를 삼각함수라고 일컫는다.

\\theta의 삼각함수는 2\\pi \\times n +\\theta\\ (n\\in\\mathbb{Z})와 같으므로 삼각함수는 주기함수이다. \\sin x,\\ \\cos x,\\ \\csc x,\\ \\sec x의 주기는 2\\pi이고, \\tan x,\\ \\cot x의 주기는 \\pi이다.

2. 부호 _{✎ ⊖}

P(x, y)의 위치	제1사분면	제2사분면	제3사분면	제4사분면
\\sin,\\ \\csc의 부호	+	+	−	−
\\cos,\\ \\sec의 부호		−	−	+
\\tan,\\ \\cot의 부호		−	+	−

3. 성질 _{✎ ⊖}

3.1. 단위원의 방정식 _{✎ ⊖}

\\sin^2 x + \\cos^2 x = 1

3.2. 덧셈정리 _{✎ ⊖}

\\sin \\left(x \\pm y\\right)=\\sin x \\cos y \\pm \\cos x \\sin y
\\cos \\left(x \\pm y\\right)=\\cos x \\cos y \\mp \\sin x \\sin y

3.3. 합성 _{✎ ⊖}

\\displaystyle a\\sin\\theta + b\\cos\\theta = \\sqrt{a^2+b^2} \\sin(\\theta + \\alpha) (단, \\displaystyle \\tan\\alpha = \\frac{b}{a} 이다.)

3.3.1. 증명 _{✎ ⊖}

일단, 원식을 \\displaystyle a\\sin\\theta + b\\cos\\theta = \\sqrt{a^2+b^2} (\\frac{a}{\\sqrt{a^2+b^2}} \\sin\\theta + \\frac{b}{\\sqrt{a^2+b^2}} \\cos\\theta) 으로 변형할 수 있다.

이제 우측 그림과 같이 원점에서 (a, b)로 그은 선을 빗변으로 하는 삼각형을 생각하고 각 O를 \\alpha라고 하자.

그러면 빗변의 길이는 \\sqrt{a^2+b^2} 이고 \\displaystyle \\sin \\alpha = \\frac{b}{\\sqrt{a^2+b^2}},\\ \\cos\\alpha = \\frac{a}{\\sqrt{a^2+b^2}} 이다.

따라서, 원식은 덧셈정리에 의해 \\sqrt{a^2+b^2}(\\sin \\theta \\cos \\alpha + \\cos\\theta \\sin\\alpha) = \\sqrt{a^2+b^2}\\sin(\\theta+\\alpha) 가 된다.

3.4. 도함수 _{✎ ⊖}

\\displaystyle (\\sin x)' = \\lim_{h\\to 0} \\frac{\\sin x \\cos h + \\cos x \\sin h -\\sin x}{h} = \\lim_{h\\to 0} \\frac{\\cos x \\sin h}{h} = \\cos x
\\displaystyle (\\cos x)' = \\{\\sin (x+\\frac{\\pi}{2})\\}'= \\cos(x+\\frac{\\pi}{2})(x+ \\frac{\\pi}{2})'=-\\sin x
\\displaystyle (\\tan x)' = (\\frac{\\sin x}{\\cos x})' = \\frac{\\sin^2 x + \\cos^2 x}{\\cos^2 x} = \\sec^2 x

3.5. 부정적분 _{✎ ⊖}

\\displaystyle \\int \\sin x\\ \\mathrm{dx} = -\\cos x + C
\\displaystyle \\int \\cos x\\ \\mathrm{dx} = \\sin x + C
\\displaystyle \\int \\tan x\\ \\mathrm{dx} = -\\ln |\\cos x| + C

4. 삼각형의 성질 _{✎ ⊖}

4.1. 사인법칙 _{✎ ⊖}

삼각형 \\triangle \\mathrm{ABC} 와 이 삼각형의 외접원의 반지름 R 에 대해 다음이 성립한다.

\\displaystyle \\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}=2R

4.1.1. 증명 _{✎ ⊖}

세 가지 경우로 나누어 생각하자.

1. A는 예각

우측 그림과 같이 원주각 A'를 잡아 직각삼각형을 만들면 \\displaystyle \\sin A = \\sin A' = \\frac{\\overline{BC}}{2R} = \\frac{a}{2R} 이다.

2. A는 직각

\\sin A=1 이고, 직각삼각형의 빗변 \\overline{BC}는 외접원의 지름이므로 성립한다.

3. A는 둔각

우측 그림과 같이 삼각형의 한 꼭짓점과 원의 중심을 지나는 직선 \\overline{BA'}를 그으면 원에 내접하는 \\square ABA'C의 각 내대각의 합은 \\pi이므로 \\displaystyle \\sin A = \\sin (\\pi-A) = \\sin A'= \\frac{\\overline{BC}}{2R} = \\frac{a}{2R} 이다.

4.2. 제일코사인법칙 _{✎ ⊖}

삼각형 \\triangle \\mathrm{ABC} 에 대해 다음이 성립한다.

\\displaystyle a=b\\cos C + c\\cos B
\\displaystyle b=c\\cos A + a\\cos C
\\displaystyle c=b\\cos B + b\\cos A

4.2.1. 증명 _{✎ ⊖}

우측 그림에서 a=\\overline{BH} + \\overline{HC} 이다.

그런데 \\displaystyle \\cos B = \\frac{\\overline{BH}}{c} ⇔ \\overline{BH}=c \\cos B,\\ \\cos C = \\frac{\\overline{CH}}{b} ⇔ \\overline{CH}=b \\cos C 이다.

\\therefore\\ a=b\\cos C + c \\cos B 이다.

4.3. 제이코사인법칙 _{✎ ⊖}

삼각형 \\triangle \\mathrm{ABC} 에 대해 다음이 성립한다.

\\displaystyle \\cos A=\\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
\\displaystyle \\cos B=\\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}
\\displaystyle \\cos C=\\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

4.3.1. 증명 _{✎ ⊖}

세 가지 경우로 나누어 생각하자.

1. C는 예각

우측 그림에서 \\overline{AH}=b\\sin C,\\ \\overline{CH}= b\\cos C 이고, \\overline{BH} = a-\\overline{CH} 이다.
따라서 피타고라스의 정리에 의해 c^2 = \\overline{BH}^2 + \\overline{AH}^2 = (a-b\\cos C)^2+(b\\sin C)^2 \\\\ \\ \\ \\ = a^2+b^2-2ab\\cos C 이다.

2. C는 직각

\\cos C=0 이므로 피타고라스의 정리에 의해 성립한다.

3. C는 둔각

우측 그림에서 \\overline{AH}=b\\sin (\\pi - C) = b\\sin C,\\ \\overline{CH}= b\\cos (\\pi - C)= -b\\cos C 이고, \\overline{BH} = a+\\overline{CH} 이다.
따라서 피타고라스의 정리에 의해 c^2 = \\overline{BH}^2 + \\overline{AH}^2 = (a-b\\cos C)^2+(b\\sin C)^2 \\\\ \\ \\ \\ = a^2+b^2-2ab\\cos C 이다.

5. 순허수에 대한 삼각함수 _{✎ ⊖}

오일러의 공식 e^{i\\cdot ki}=\\cos ki + i\\sin ki ,\\ e^{i\\cdot -ki}=\\cos -ki + i\\sin -ki 에 의해 다음을 얻는다.

\\displaystyle \\sin ki = \\frac{e^{-k}-e^{k}}{2i}
\\displaystyle \\cos ki = \\frac{e^{-k}+e^{k}}{2}

덧셈정리를 사용하거나, 위 식의 k 에 \\displaystyle \\frac{k}{i} 를 대입하여 얻는 다음 식을 이용하면 임의의 복소수에 대한 삼각함수 값을 구할 수 있다.

\\displaystyle \\sin x = \\frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2i}
\\displaystyle \\cos x = \\frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2}

5.1. 쌍곡함수와의 관계 _{✎ ⊖}

위와 같은 표현은 쌍곡함수의 쌍곡사인과 쌍곡코사인의 정의와 유사하다. 실제로, 다음이 성립한다.

\\displaystyle \\sin ki = i \\sinh k
\\displaystyle \\cos ki = \\cosh k

6. 영상 _{✎ ⊖}

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1. 단위원을 이용한 정의 ✎ ⊖

2. 부호 ✎ ⊖

3. 성질 ✎ ⊖

3.1. 단위원의 방정식 ✎ ⊖

3.2. 덧셈정리 ✎ ⊖

3.3. 합성 ✎ ⊖

3.3.1. 증명 ✎ ⊖

3.4. 도함수 ✎ ⊖

3.5. 부정적분 ✎ ⊖

4. 삼각형의 성질 ✎ ⊖

4.1. 사인법칙 ✎ ⊖

4.1.1. 증명 ✎ ⊖

4.2. 제일코사인법칙 ✎ ⊖

4.2.1. 증명 ✎ ⊖

4.3. 제이코사인법칙 ✎ ⊖

4.3.1. 증명 ✎ ⊖

5. 순허수에 대한 삼각함수 ✎ ⊖

5.1. 쌍곡함수와의 관계 ✎ ⊖

6. 영상 ✎ ⊖