Prime number theorem
lim x → ∞ π ( x ) ln x x = 1 \lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\ln{x}}{x}=1 lim x → ∞ x π ( x ) l n x = 1 이 된다는 정리다. 여기서
π ( x ) \pi(x) π ( x ) 는
소수 계량 함수 이다. 이 정리는 소수들의 분포를 잘 알려준다.
1. 오차항의 표현 ✎ ⊖ x x x 가 무한대로 가면 다음이 성립한다.
π ( x ) = x ln x + O ( x ( ln x ) 2 ) \pi(x)=\frac{x}{\ln{x}}+O\left(\frac{x}{(\ln{x})^2}\right) π ( x ) = l n x x + O ( ( l n x ) 2 x ) 하지만
∣ π ( x ) − x ln x ∣ ≫ x ( ln x ) 2 \left|\pi(x)-\frac{x}{\ln{x}}\right|\gg \frac{x}{(\ln{x})^2} π ( x ) − l n x x ≫ ( l n x ) 2 x 이기도 해서 별로 좋지 못하다 할 수 있다. 하지만
Λ ( n ) : = { ln p if n = p k for some positive integer k 0 otherwise \Lambda(n):=\begin{cases}\ln{p} & \text{if}\;n=p^k \text{ for some positive integer}\;k \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases} Λ ( n ) := { ln p 0 if n = p k for some positive integer k otherwise 라고 정의하고
ψ ( x ) : = ∑ n ≤ x Λ ( n ) \psi(x):=\sum_{n\le x}\Lambda(n) ψ ( x ) := ∑ n ≤ x Λ ( n ) 이라고 한다면 임의의
c > 0 c>0 c > 0 에 대해서
ψ ( x ) = x + O ( x e − c ln x ) \psi(x)=x+O\left(xe^{-c\sqrt{\ln{x}}}\right) ψ ( x ) = x + O ( x e − c l n x ) 이다. 나아가 임의의
ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 에 대해서
ψ ( x ) = x + O ε ( x 1 2 + ϵ ) \psi(x)=x+O_{\varepsilon}(x^{\frac{1}{2}+\epsilon}) ψ ( x ) = x + O ε ( x 2 1 + ϵ ) 이라는 것은
리만 가설 과 동치가 된다.
2. 동치인 표현들 ✎ ⊖
lim x → ∞ π ( x ) log π ( x ) x = 1 \lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)\log \pi(x)}{x}=1 lim x → ∞ x π ( x ) l o g π ( x ) = 1 lim n → ∞ p n n log n = 1 \lim_{n \to \infty}\frac{p_n}{n \log n}=1 lim n → ∞ n l o g n p n = 1 lim x → ∞ ϑ ( x ) x = 1 \lim_{x \to \infty} \frac{\vartheta(x)}{x}=1 lim x → ∞ x ϑ ( x ) = 1 lim x → ∞ ψ ( x ) x = 1 \lim_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x}=1 lim x → ∞ x ψ ( x ) = 1 ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n = 0 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}=0 ∑ n = 1 ∞ n μ ( n ) = 0 lim x → ∞ M ( x ) x = 0 \lim_{x \to \infty} \frac{M(x)}{x}=0 lim x → ∞ x M ( x ) = 0 Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3.