소수 정리

최근 수정 시각 : 2025-01-11 16:22:35 | 조회수 : 53

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Prime number theorem

limxπ(x)lnxx=1\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\ln{x}}{x}=1


이 된다는 정리다. 여기서 π(x)\pi(x)소수 계량 함수이다. 이 정리는 소수들의 분포를 잘 알려준다.

목차

1. 오차항의 표현
2. 동치인 표현들
2.1. 약간의 식 변형
2.2. 체비셰프 함수
2.3. 뫼비우스 뮤 함수
2.4. 메르텐스 함수
3. 참고 문헌

1. 오차항의 표현

xx가 무한대로 가면 다음이 성립한다.
  • π(x)=xlnx+O(x(lnx)2)\pi(x)=\frac{x}{\ln{x}}+O\left(\frac{x}{(\ln{x})^2}\right)
하지만
  • π(x)xlnxx(lnx)2\left|\pi(x)-\frac{x}{\ln{x}}\right|\gg \frac{x}{(\ln{x})^2}
이기도 해서 별로 좋지 못하다 할 수 있다. 하지만
  • Λ(n):={lnpif  n=pk for some positive integer  k0otherwise\Lambda(n):=\begin{cases}\ln{p} & \text{if}\;n=p^k \text{ for some positive integer}\;k \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}
라고 정의하고
  • ψ(x):=nxΛ(n)\psi(x):=\sum_{n\le x}\Lambda(n)
이라고 한다면 임의의 c>0c>0에 대해서
  • ψ(x)=x+O(xeclnx)\psi(x)=x+O\left(xe^{-c\sqrt{\ln{x}}}\right)
이다. 나아가 임의의 ε>0\varepsilon>0에 대해서
  • ψ(x)=x+Oε(x12+ϵ)\psi(x)=x+O_{\varepsilon}(x^{\frac{1}{2}+\epsilon})
이라는 것은 리만 가설과 동치가 된다.

2. 동치인 표현들

2.1. 약간의 식 변형

  • limxπ(x)logπ(x)x=1\lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)\log \pi(x)}{x}=1
  • limnpnnlogn=1\lim_{n \to \infty}\frac{p_n}{n \log n}=1

2.2. 체비셰프 함수

  • limxϑ(x)x=1\lim_{x \to \infty} \frac{\vartheta(x)}{x}=1
  • limxψ(x)x=1\lim_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x}=1

2.3. 뫼비우스 뮤 함수

  • n=1μ(n)n=0\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}=0

2.4. 메르텐스 함수

  • limxM(x)x=0\lim_{x \to \infty} \frac{M(x)}{x}=0

3. 참고 문헌

  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3.

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